＜質問＞

　昔、グラフを描くソフトを作って、y=x^xのグラフを描いたところ、下記URLの一番最後の補足の項目のようなグラフになりました。
http://sur.ac/faq/power0/power0.html

ちらっと覗いてみました。面白そうなので、あとでまた見てみます。ありがとうございます。

「0の0乗に対して特定の実数値を定義する場合、0 の冪は常に 0 だから「0の0乗 = 0」と定義するべきだ、という主張と、0 乗は常に 1 だから「0の0乗 = 1」とすべきだ、という主張が考えられる。関数の考え方を用いるならば、「0の0乗 = 0」であるとする立場は、0の0乗の意味を、関数 0x の x → +0 に対する極限とするものであり[1]、「0の0乗 = 1」であるとする立場は、0の0乗の意味を、関数 x0 の x → 0 に対する極限、もしくは関数 xx の x → 0 に対する極限とするものである。」

とか、小難しいことを言っていますが、私は結局は意見が統一できないから決められない(定義することができない)ということだと思っています。
数学の場合は、定義してしまえば決まりごととして済むのですから･･･。

私は、○の×乗というのは、○を×回かけると思っていますから、0乗というのは、0回かけることだと思っています。
0以外の場合は、それが1なのですから、○の×乗というのは、1に○を×回かけると定義してもいいのではないか、そうすれば0乗というのは、1に0回かけること、つまり1そのものが残るということで、1になりますね。
でも、○の×乗を1に○を×回かけると定義すること自体、認めない人もいるわけで。

回答をくださり、嬉しいです。
演算のフィールドによって、個別に定義する必要がありそうですね。
勉強になりました。ありがとうございます。

x→0の時x^x→1についてです。
x^x=e^(xlogx)(…★)と表現できます。
で、x→0の時、ロピタルの定理を使って、
x→0の時のxlogx=x→0の時のlogx/(1/x)=x→0の時の(1/x)/(-1/x^2)=x→0の時の-x
となりxlogx→0となります。
よって、★の式からx^x→e^0=1となります。

終了後にもかかわらず、お返事をくださり、嬉しいです。
ありがとうございます。

純粋数学の立場から言うと「定義できない」という状況は存在しないね。
何でもいいから定義してしまえば、それがその論理の中では定理として成り立つ。
もちろんその論理が現実世界で役に立つかどうかは全くの別問題。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6
＞数学、特に伝統的な純粋数学では数学研究が自己目的化されており、数学への内的な興味のために研究がなされる。

現実問題としてはすでに出ているとおり、「定義しない」もしくは「定義しても意味がない」（複数の妥当な定義が考えられる）
というのが解になるだろうけど、まぁ豆知識程度に。

できるのか、できないのかではなく、するか、しないかということですね。
勉強になります。ありがとうございます。