(1+x)^4の展開式におけるx^2の係数は（ア）である。
また、nを2以上の自然数とするとき、(1+2x)^nの展開式におけるx^2の係数が60になるのはn=（イ）のときである。
答えはどちらも6ということはわかっています。
No.2
4503
437
27pt
二項定理(a+b)^n=∑[r=0,n]{nCr･a^(n-r) b^r}
(ｱ)
まず、展開式の一般項を求めると、nCr・ｘ^r (∵公式のａに当たる部分は1)
n=4，r=2であるから、4C2･ｘ^2
∴4C2＝{4×3}/{2×1}＝6
(ｲ)
まず、展開式の一般項を求めると、nCr・(2ｘ)^r
ｎは未知数で、r=2だから、
nC2・2^2＝60
∴{n(n-1)}/{2・1}・4＝60
∴ｎ^2-ｎ-30＝0
∴(ｎ+5)(ｎ-6)＝0
∴n=6
検算してみと、
6C2・2^2＝{6×5}/{2×1}・4＝30/2×4＝60
No.1
531
27pt
(1+x)^nにおけるx^kの係数は、nCk（コンビネーション）で表されます。（2項定理）
ここではn=4,k=2であることから、
nCk=4!/2!/2!=6
となります。
(1+2x)^nにおいてもx^kの係数は、nCk・2^kで表されます。
k=2のとき、
nCk・2^k=n!/2!/(n-2)!・2^2＝60となり、
これを整理すると、
n(n-1)=30となり、n=6となります。
No.2
4503437
ここでベストアンサー
27pt
二項定理(a+b)^n=∑[r=0,n]{nCr･a^(n-r) b^r}
(ｱ)
まず、展開式の一般項を求めると、nCr・ｘ^r (∵公式のａに当たる部分は1)
n=4，r=2であるから、4C2･ｘ^2
∴4C2＝{4×3}/{2×1}＝6
(ｲ)
まず、展開式の一般項を求めると、nCr・(2ｘ)^r
ｎは未知数で、r=2だから、
nC2・2^2＝60
∴{n(n-1)}/{2・1}・4＝60
∴ｎ^2-ｎ-30＝0
∴(ｎ+5)(ｎ-6)＝0
∴n=6
検算してみと、
6C2・2^2＝{6×5}/{2×1}・4＝30/2×4＝60
No.3
416
26pt
（ア）２項定理により、
(x+a)^n
＝（nＣn）×x^n +（nＣn-1）×a×x^(n-1) + （nＣn-2）×a^2×x^(n-2)
という公式が成り立ちます。
x^1 の係数は、(nＣ1)×a^(n-1)
x^2 の係数は、（nＣ2）×a^(n-2)
x^(n-1)の係数は、（nＣn-1）×a^(n-(n-1)）
x^n の係数は、（nＣn）×a^(n-n)
このことから、x^rの係数は、
（nＣr）×a^（nーr）
となります。よって、r=2、n=4、a=1を代入すると、
(4Ｃ2）×1^(4-2)=6
よって、x^2の係数は６になります。
（イ）２項定理の公式の、xに（2x)を、aに1を代入してみると、
(2x + 1)^n
=（nＣn）×(2x)^n +（nＣn-1）×1×(2x)^(n-1) + （nＣn-2）×1^2×(2x)^(n-2)
となります。
よって、
x^2 の係数は、（nＣ2）×1^(n-2)×2^2
となります。これが60になるということなので、
（nＣ2）×1^(n-2)×2^2＝60
よって、
〔n・(n-1)/2・1〕 × 4＝60
n^2 - n - 30 = 0
(n-6)(n+5)=0
n≧2より、n=6
よって、（イ）の答えは６になります。
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