nが自然数のとき、7×2^(n-1)+(-1)^n　が9の倍数になるのは、nが3の倍数のときだけだと思うのですが、理由が説明できません。解説いただければ幸いです。どうぞよろしくお願い致します。

　中国の剰余定理より、

7×2^(n-1)+(-1)^n≡(-2)×2^(n-1)+(-1)^n (mod 9)

＝-2^n+(-1)^n (mod 9)

ここで、

(1) n=3m (m≧1)とすると、

• 2^n+(-1)^n=-2^(3m)+(-1)^(3m) (mod 9)

=-(2^3)^m+{(-1)^3}^m (mod 9)

=-8^m+(-1)^m (mod 9)

=-(-1)^m+(-1)^m (mod 9)

=0 (mod 9)

よって、割り切れる。

(2) n=3m+1 (m≧0)とすると、

• 2^n+(-1)^n=-2^(3m+1)+(-1)^(3m+1) (mod 9)

=-2×2^(3m)+(-1)(-1)^(3m) (mod 9)

=-2×8^m-(-1)^m (mod 9)

=-2×(-1)^m-(-1)^m (mod 9)

=-3×(-1)^m (mod 9)

=6×(-1)^m (mod 9)

よって、mが偶数のとき、6余り、ｍが奇数のとき、3余る。

(3) n=3m+2 (m≧0)とすると、

• 2^n+(-1)^n=-2^(3m+2)+(-1)^(3m+2) (mod 9)

=-4×2^(3m)+(-1)^2×(-1)^(3m) (mod 9)

=-4×8^m+(-1)^m (mod 9)

=-4×(-1)^m+(-1)^m (mod 9)

=-3×(-1)^m (mod 9)

=6×(-1)^m (mod 9)

よって、mが偶数のとき、6余り、ｍが奇数のとき、3余る。

※参考URL

●中国の剰余定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B...

http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Chine...

7x2^(n-1)+(-1)^n

=(9 - 2)x2^(n-1)+(-1)^n

= 9x2^(n-1) - 2x2^(n-1) + (-1)^n

= 9x2^(n-1) - 2^n + (-1)^n

= 9x2^(n-1) - (2^n - (-1)^n)

したがって、

(2^n - (-1)^n)

が9の倍数であれば、

7x2^(n-1)+(-1)^n

は9の倍数となる。

2^(n+1) - (-1)^(n+1) = 2 * 2^n - (-1)^(n+1)

= (3-1) * 2^n - (-1)^(n+1)

= 3 * 2^n - 2^n - (-1)^(n+1)

= 3 * 2^n - (2^n + (-1)^(n+1))

= 3 * 2^n - (2^n - (-1)^n)

2^(n+2) - (-1)^(n+2) = 4 * 2^n - (-1)^(n+2)

= (3+1) * 2^n - (-1)^(n+2)

= 3 * 2^n + 2^n - (-1)^(n+2)

= 3 * 2^n + (2^n - (-1)^(n+2))

= 3 * 2^n + (2^n - (-1)^n)

2^(n+3) - (-1)^(n+3) = 8 * 2^n - (-1)^(n+3)

= (9-1) * 2^n - (-1)^(n+3)

= 9 * 2^n - 2^n - (-1)^(n+3)

= 9 * 2^n - (2^n + (-1)^(n+3))

= 9 * 2^n - (2^n - (-1)^n)

これらの式により、2^n - (-1)^nが9の倍数であれば、n+1, n +2の時は9の倍数ではなく、n+3の時は9の倍数であることが分かる。

ここで、n=1, 2, 3のとき、

2^n - (-1)^n = 3 (n=1)

2^n - (-1)^n = 3 (n=2)

2^n - (-1)^n = 9 (n=3)

であるので、n=3+3m(mは0以上の整数)の時、2^n - (-1)^nは9の倍数である。

したがって、nが3の倍数の時、7x2^(n-1)+(-1)^nは9の倍数である。