金の球がｎ個、銀の球が３個、黒の球が１個入った袋があります。

この場合、金の球は全く関係ないことに気づけばすぐ解けますね。作業終了に関係あるのは黒の球のみで、金の球は関係ない余分な要素（例えば砂と同じ）と考えると分かりやすいかと思います。

金の球は関係ないから、0個と考えて、

ｍ=０：銀と黒の合計4個から、黒を引く確率25％。

ｍ=１：上記に該当しない残り75％のうち、銀と黒の3個から次に黒を引く確率は、75％×(1/3)=25％。

ｍ=２、ｍ=３：同様に確率は25％。

つまり正解は、「mがそれぞれの個数になる確率は全て25％」

この場合金の球の数というのはまったく関係しないことになります。

なぜなら、金の球が減っても銀の球と黒の球だけに着目するとどちらかを選ぶ確率は変わらないからです。

それでｎ＝０のときを考えてｍの場合でそれぞれの確率を出します。

ｍ＝０のとき　1/4

ｍ＝１のとき　3/4×1/3=1/4

ｍ＝２のとき　3/4×2/3×1/2=1/4

ｍ＝３のとき　3/4×2/3×1/2×1/1=1/4

すなわち全ての場合、ｎとｍに関わらず1/4になります。

これは、

銀の玉と黒の玉だけの袋から、玉を全部とりだした時、黒の玉が（ｍ＋１）番目に取り出される確率

と同じだと思います。なぜならば、

• 袋の中の玉は、全部とりだしてもとりださなくても、銀の玉と黒の玉の取り出される順序のみに依存する
• 金の玉がいくつあろうと、金の玉の間に銀の玉と黒の玉を配置しただけなので、確率に変化はない

からです。

…書いていて我ながら嘘くさく感じましたので、数学的帰納法で考えますと、金の玉をｎ個から（ｎ＋１）個に増やした時、場合の数は、玉を取り出す前も玉を取り出した後も、同じく（ｎ＋１）倍になりますから、結局は確率に変化はありません。

銀の玉が３個で黒の玉が１個なので、並べ方は４通りしかありませんから、確率はｎ，ｍによらず、１／４です。

この問題の場合は、これで合っているはずです。

なお、条件に「球が袋から無くなったらもちろん終了」は不要ですね：玉が最後まで取り出されるのは、最後の玉が黒の時だけですから。

銀の球0個、1個、2個、3個の確率は、それぞれ25%です。

まず、黒の球を引いたときに、それまでに取り出した黒の球以外の個数をkとします。

kは0～n+3までのn+4通りの値を取り、それぞれの確率は1/n+4です。

任意のkの時、銀の玉がm個の確率は、

総数n+3の中からk個取り出したとき、銀がm個、金がk-m個の時の確率が、

( nＣk-m・3Ｃm ) / n+3Ｃk

ですので、

( nＣk-m・3Ｃm ) / ( n+3Ｃk × (n+4) )

となります。

なお、k=0のとき、m=1になる確率は0です。

また、k=n+2, k=n+3の時、m=1になる確率も0です。

したがって、

n+m

Σ( nＣk-m・3Ｃm ) / ( n+3Ｃk × (n+4) )

k=m

を求めると、答えが出ます。

結果は、金の球がいくつになっでも銀の球が0個　1個　2個　3個　でる確率は、どれも4分の1です。