http://q.hatena.ne.jp/1257362092
から新たに湧いた疑問なのですが、
df/dx = r^2(2-x) / x+2
である関数f(x)において、f(x)が上に凸であることを示す、もしくはx=2のとき極大値を取ることを示すには、どうすればよいのでしょうか?
u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)・・・①
u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)・・・②
のどっちが正しいか。
ただし、uv=(y^2)(2-x)・・・③
条件式xy+2y=Lから、y(x+2)=L
∴y=L/(x+2)・・・④
∴y'=-L/(x+2)^2・・・⑤
まずは、元の式をxだけの式にして微分してみます。
④を③に代入して、
uv=[{L/(x+2)}^2](2-x)=(L^2)(2-x)/(x+2)^2
商の微分から、
{(L^2)(2-x)/(x+2)^2}'=(L^2)[(2-x)'(x+2)^2-(2-x){(x+2)^2}']/(x+2)^4
=(L^2){(-1)(x+2)^2-(2-x)2(x+2)(1)}/(x+2)^4
=(L^2){-(x+2)^2+2(x-2)(x+2)}/(x+2)^4
=(L^2)(x^2-4x-12)/(x+2)^4
=(L^2)(x-6)(x+2)/(x+2)^4
=(L^2)(x-6)/(x+2)^3・・・⑥
次に、①に④を代入すると、
u'v+uv' = 2{L/(x+2)}・(2-x) + {L/(x+2)}^2・(-1)
=2L(2-x)/(x+2)-(L^2)/(x+2)^2
={2L(2-x)(x+2)-(L^2)}/(x+2)^2
=-{2L(x-2)(x+2)+(L^2)}/(x+2)^2
=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2
=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2
=-L{2x^2-8+L}/(x+2)^2
これは、⑥と合っていない。
では、②に④,⑤を代入すると、
u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)
=y{2y'(2-x)-y}
={L/(x+2)}[2{-L/(x+2)^2}(2-x)-{L/(x+2)}]
={L/(x+2)}[{2L(x-2)/(x+2)^2}-{L/(x+2)}]
={L/(x+2)}L[{2(x-2)/(x+2)^2}-{(x+2)/(x+2)^2}]
={L/(x+2)}L[{(2x-4)-(x+2)}/(x+2)^2]
={L/(x+2)}L(x-6)/(x+2)^2
=(L^2)(x-6)/(x+2)^3
これは⑥と合っている。
結局、条件式付きなので、y=y(x)と見ることが出来て、1変数の関数に帰着させることが出来ているわけです。
ただ、わざわざyについて解かなくても、陰関数の微分を使えば、yのまま微分出来るわけです。
df/dx=r^2(2-x)/(x+2)を再度xで微分します。
d^2f/dx^2={r^2・(-4)}/(x+2)^2
これは、負なので、関数fは上に凸であることを
示しています。
u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)・・・①
u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)・・・②
のどっちが正しいか。
ただし、uv=(y^2)(2-x)・・・③
条件式xy+2y=Lから、y(x+2)=L
∴y=L/(x+2)・・・④
∴y'=-L/(x+2)^2・・・⑤
まずは、元の式をxだけの式にして微分してみます。
④を③に代入して、
uv=[{L/(x+2)}^2](2-x)=(L^2)(2-x)/(x+2)^2
商の微分から、
{(L^2)(2-x)/(x+2)^2}'=(L^2)[(2-x)'(x+2)^2-(2-x){(x+2)^2}']/(x+2)^4
=(L^2){(-1)(x+2)^2-(2-x)2(x+2)(1)}/(x+2)^4
=(L^2){-(x+2)^2+2(x-2)(x+2)}/(x+2)^4
=(L^2)(x^2-4x-12)/(x+2)^4
=(L^2)(x-6)(x+2)/(x+2)^4
=(L^2)(x-6)/(x+2)^3・・・⑥
次に、①に④を代入すると、
u'v+uv' = 2{L/(x+2)}・(2-x) + {L/(x+2)}^2・(-1)
=2L(2-x)/(x+2)-(L^2)/(x+2)^2
={2L(2-x)(x+2)-(L^2)}/(x+2)^2
=-{2L(x-2)(x+2)+(L^2)}/(x+2)^2
=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2
=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2
=-L{2x^2-8+L}/(x+2)^2
これは、⑥と合っていない。
では、②に④,⑤を代入すると、
u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)
=y{2y'(2-x)-y}
={L/(x+2)}[2{-L/(x+2)^2}(2-x)-{L/(x+2)}]
={L/(x+2)}[{2L(x-2)/(x+2)^2}-{L/(x+2)}]
={L/(x+2)}L[{2(x-2)/(x+2)^2}-{(x+2)/(x+2)^2}]
={L/(x+2)}L[{(2x-4)-(x+2)}/(x+2)^2]
={L/(x+2)}L(x-6)/(x+2)^2
=(L^2)(x-6)/(x+2)^3
これは⑥と合っている。
結局、条件式付きなので、y=y(x)と見ることが出来て、1変数の関数に帰着させることが出来ているわけです。
ただ、わざわざyについて解かなくても、陰関数の微分を使えば、yのまま微分出来るわけです。
いやはや、初めて耳にしました。
2次導関数を調べることで、f(x)の状態がわかるんですね~(驚)
私の大学の教科書には、
----------------------
関数y=f(x)がaを含む区間で2回微分可能とする。このとき、
f''(a)>0 ⇒ f(x)はx=aにおいて下に凸の状態
f''(a)<0 ⇒ f(x)はx=aにおいて上に凸の状態
である。
----------------------
と、書かれておりました(^_^;)
rio_que_pasasさんの回答を参考に、計算してみます!