正規分布を表す式はどのようにして定義されたか教えてください。

wikipedia の正規分布のページ等よんだのですが、
具体的には、添付画像の標準正規分布の式で、
・どうして π や e が出てくるのか？
・何故式の中に出てくるような演算子でこのように結合されているのか？
・発見者はどのようにしてこの式を現象に合うように調整したのか？
などといった事柄について知りたいです。

断片的な事柄でも構いません。

どうぞよろしくお願いいたします。