高校数学の（積分？の）問題ですが、自力で解けず、解法を導いて頂きたくお願い致します。

Question

yoshifuku

421

377もっと見る

70pt

学習・教育

高校数学の（積分？の）問題ですが、自力で解けず、解法を導いて頂きたくお願い致します。

（計算過程を強く希望します）

－－－
x^(1/m)　＋　y^(1/n)　＝　1　（x≧0、y≧0）
x＝0
y＝0
この曲線及び２直線に囲まれる領域の面積はいくつか？

m：自然数
n：自然数

どうぞよろしくお願い致します。

※回答は11月29日（日）19時以降にオープン致します。

回答の条件

1人1回まで

登録：2009/11/28 22:07:28
終了：2009/11/30 15:22:35

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

garyo 2009/11/28 22:42:52

x^(1/m)　＋　y^(1/n)　＝　1　（x≧0、y≧0）
x＝0
y＝0
この曲線及び２直線に囲まれる領域の面積はいくつか？

m：自然数
n：自然数

こういうのはまず、値を当てはめてイメージをつかむのはどうでしょうか
例えばm=1,n＝1の場合
x+y=1
x=0
Y=0
これはｘ＝１、ｙ＝１の直角三角形ですよね。
∴s=1/2×1×1=0.5

m,nは1～∞の値をとるので
m=∞　の時
x^(1/m)=x^(0)=1

x^(1/m)　＋　y^(1/n)　＝　1　
1　＋　y^(1/n)　＝　1　
y^(1/n)　=0

x軸も同様ですので
面積Ｓ<=0.5でどうでしょう？
cappin 2009/11/29 00:03:02

たぶん x=(sinθ)^2m、y=(cosθ)^2nとしてよくて、
Integral[θr^2]dθ つまり Integral[θ・｛(sinθ)^4m＋(cosθ)^4n｝] dθを0からπ/2までやればいいのでは。
あとは‥どっかに公式落ちてないかな(苦笑)
yoshifuku 2009/11/29 07:51:16

高校の数学の問題なので、イメージをつかむだけで終わるのではなく、具体的に面積をmとnを用いて表現する必要があるんです。
rsc 2009/11/30 07:40:27

　こちらの方が綺麗にまとまっているかも。
●オイラー積分
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86
yoshifuku 2009/11/30 15:22:01

ありがとうございました。
お２人とも素晴らしい解答でした。
私も若い頃は数学が得意な方だったのですが、全く解けず衰えを感じます。
最近の問題は難しいですね。

たまに高校数学の質問をすることがありますので、
また、どうぞよろしくお願い致します。

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

KazuyaMitsutani · Answer 1 · 2009-11-29T03:03:29+09:00

まず積分範囲の概形を見積もっておきます．

$x=0$ のとき $y=1$ ， $y=0$ のとき $x=1$ したがって $x^{1/m}+y^{1/n}=1$ は (0,1) および (1,0) を結ぶ何らかの曲線だと考えられます．x を積分変数にとれば積分範囲は $x=0\sim1$ であり，被積分関数は $y(x) = (1-x^{1/m})^n$ です．つまり実行すべき積分は

$\int_0^1 (1-x^{1/m})^n dx$ ，

になります．この積分ですが，まず見通しを良くするために $t^m=x$ の変数変換を行います．すると積分は

$\int_0^1 mt^{m-1}(1-t)^n dt$ ，

になります．ここでもし $m=1$ ならば積分は

$\int_0^1 (1-t)^n dt = -\left\[\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}\right\]_0^1 = \frac{1}{n+1}$ ,

となり完了です．

$m\geq 2$ の場合には部分積分を使って計算していきます．まず一回部分積分をすると上記の積分は

$m\left\[t^{m-1}\frac{(1-t)^{n+1}}{-(n+1)}\right\]_0^1 + \frac{m(m-1)}{(n+1)}\int_0^1 t^{m-2}(1-t)^{n+1}dt$ ,

となります．ここで一以上の自然数 s に対し，

$I(s):= \int_0^1t^{m-s}(1-t)^{n+s-1}dt$ ,

$S(s):= (-1)\times\left\[t^{m-s}(1-t)^{n+s}\right\]_0^1$ ,

と定義すると，もともとの積分は $mI(1)$ で上ではそれを部分積分を用いて，

$mI(1)=\frac{m}{n+1}S(1)+\frac{m(m-1)}{n+1}I(2)$

としたことになる．ここで $I(s)$ および $S(s)$ の性質について調べておく．まず $S(s)$ は表式より $s\not =m$ の時は $S(s)=0$ である． $s=m$ のときは

$S(m)=1$

となる．次に $I(s)$ の性質について調べる．まず $s=m$ のときは

$I(m)=\int_0^1(1-t)^{n+m-1}dt=\left\[-\frac{(1-t)^{n+m}}{n+m}\right\]_0^1=\frac{1}{n+m}$ ,

となる．次に [tex:s< m] のときは部分積分ができて，

$I(s)=\int_0^1t^{m-s}(1-t)^{n+s-1}=(-1)\times\[t^{m-s}\frac{1-t}^{n+s}{n+s}\]_0^1+\frac{m-s}{n+s}\int_0^1t^{m-s-1}(1-t)^{n+s}=\frac{S(s)}{n+s}+\frac{m-s}{n+s}I(s+1)$ ,

となる．

これを用いてもとの $mI(1)$ を展開していくと

$mI(1)=\frac{m}{n+1}S(1)+\frac{m}{(n+2)(n+1)}S(2)+\frac{m!}{(m-3)!}\frac{n!}{(n+2)!}I(3)$

などとなる．これを繰り返していくと

$mI(1) = ... =m\sum_{s=1}^{m-1}\left(\frac{n!}{(n+s)!}S(s)\right) + \frac{m!n!}{(m-m)!(n+m-1)!}I(m)$ ，

となる．ここで $S(s)$ の性質を思い出すと $S$ を含む和わすべてゼロとなる．したがって

$mI(1) = \frac{m!n!}{(n+m-1)!}\times\frac{1}{n+m} = \frac{n!m!}{(n+m)!} =\left(_{n+m}Cn\right)^{-1}$

となります．はじめに m=1 のときを場合わけして計算しましたがそれもこの一般的な表式に m=1 を代入すれば出てきます．ちなみに最後の二項係数での表示はおまけです．

しかし，なんとなく組み合わせ論とも関係がありそうな気がしますね．変数変換した後の被積分関数は確率 t の事象 A が 1-m 回起き A の補事象が n 回起きる確率と同じ表式になっています．しかも積分範囲は 0 から 1．何かその線でも解き方があったのかもしれません．

rsc · Answer 2 · 2009-11-29T14:55:01+09:00

　x^(1/m)　＋　y^(1/n)　＝　1・・・①

　x=0のとき、①から、y^(1/n)=1∴y=1

　y=0のとき、同様にして、x=1

　よって、曲線①は、x軸、y軸とのそれぞれの交点(1,0)と(0,1)で交わる。

①から、

y^(1/n)=1-x^(1/m)

∴y={1-x^(1/m)}^n

　よって求める面積Sは、

S=∫[0→1][{1-x^(1/m)}^n]dx・・・②

x^(1/m)=tとおくと、x=0→t=0, x=1→t=1

x=t^m

∴dx/dt=mt^(m-1)

　よって、②式から、

S=∫[0→1]{m･t^(m-1) (1-t)^n}dt=m∫[0→1]{t^(m-1) (1-t)^n}dt・・・③

　ここで、ベータ関数を使うと、③から、

S=m・B(m,n+1)

=m・{Γ(m)Γ(n+1)/Γ(m+n+1)}

=m・(m-1)!{(n+1)-1}!/{(m+n+1)-1}!

=m!n!/(m+n)!

※参考URL

●ベータ関数

B(x,y)=∫[0,1] t^(x-1) (1-t)^(y-1)dt

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A...

●ガンマ関数

自然数nについてΓ(n) = (n - 1)!が成立する。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A...

　以上をまとめて、ｘ、ｙが自然数のとき、

B(x,y)=(x-1)!(y-1)!/(x+y-1)!

※参考公式

$\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^{m}\left(\beta-x\right)^{n}dx=\frac{m!n!}{\left(m+n+1\right)!}\left(\beta-\alpha\right)^{m+n+1}$

高校数学の（積分？の）問題ですが、自力で解けず、解法を導いて頂きたくお願い致します。

回答（2件）

KazuyaMitsutani622009/11/29 03:03:29

rsc45034372009/11/29 14:55:01

コメント（5件)

この質問への反応（ブックマークコメント）