こんにちは。幾何学の問題で困っている大学生の者です。
問題：AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。
という問題なのですが、これの証明が理解できません(>_<)
通信制の大学のビデオ講義の中の例題なのですが、まず、Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとするそうです。
次に、講師は「これがこうで、こうだから、三角形ACDは二等辺三角形になって・・・」等と述べていたのですが、指示代名詞が多すぎるからでしょうか、私の理解力が乏しいからでしょうか、証明を最後まで聞いても、何を言ってるのかさっぱりわからないのです(ToT)
皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>
No.8
3
1
10pt
No.5,7のnkgwcemです。
>「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」
面積を求める式で考えれば分かりやすいと思いますよ。
AからBCに下ろした垂線をAHとすると
△ABP=1/2×AB×AH
△ACP=1/2×AC×AH
1/2とAHが共通だから、△ABP:△ACP=AB:ACとなる。
で、仮定よりAB:AC=BP:PCなので、この式は
△ABP:△ACP=BP:PC
と書き換えることができる。
一方で、今度は△ABPと△ACPの面積をBP,CPを底辺として計算してみる。
△ABP=1/2×BP×PE
△ACP=1/2×PC×PF
さっきは高さAHが共通だったから、△ABP:△ACP=AB:ACが成り立ったわけですよね。
同様に、PE=PFであれば△ABP:△ACP=BP:PCが成り立つわけですから、
それが成り立っている以上、PE=PFであると言えるのです。
合同条件についてですが、直角三角形ですから、直角三角形の合同条件が当てはまります。
↓下記のページを参照してみてください。
http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...
No.1
4504437
18pt
こちらは参考になるでしょうか。
●三角形の角の二等分線定理
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html
●角の二等分線の性質を狩る
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf
上の証明で使っている定理は、以下の通りです。
※参考URL
●※平行線と同位角、錯角
http://www.smile.hokkaido-c.ed.jp/h18_suugaku/04_hg/hg_01/heiko_...
●数学A 平面図形 三角形の性質 平行線と線分比
http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/5/03/001a.h...
●平行線と線分の比 ←証明付き（「≡」は相似記号「∽」の書き間違いでしょう。）
No.2
52
17pt
まず三角形ABPと、三角形DBCは相似になる。
なぜならPAとCDは平行なので、角BPA=角BCD かつ
角Bを共有しているので、三角形の二つの角が
等しいため。
次に三角形ACDは二等辺三角形になる。
なぜなら三角形ABPと三角形DBCは相似であるため、
BP:PC=BA:ADが言える。前提としてBP:PC=AB:ACが与えられているので、
AB:AC=AB:AD。よってAC=ADになるため。
次に角PACと角ACDは等しい。
なぜなら、角PAC=180度-(角BAP+角CAD) かつ
角ACD=180度-(角ADC+角CAD) かつ
三角形ABPと三角形DBCは相似であることより角BAP=角ADC。よって
角PAC = 180度-(角BAP+角CAD) = 180度-(角ADC+角CAD) = 角ACD
が導かれるため。
以上の条件から、角BAP=角PACが導かれる。
なぜなら角BAP=角BDC=角ACD=角PACであるため。
角BAP=角PACという結論は、APが角BAC(角A)を二等分することを
示している。
以上です。
回答ありがとうございます！
ただ、nkgwcemさんへのコメントでも触れたのですが、AC=ADになる理由が、どうしてもわかりません(;_;)
「辺の比が等しい」のと、「辺が等しい」というのは、違うと思うのです。
BP:PC=AB:AC
BP:PC=BA:AD(∵ △ABP∽△DBC)
∴ AB:AC=AB:AD
とは、辺の"比"のことですよね？
もし、∠ADCと∠ACDが等しければ、三角形ACDは二等辺三角形となり、AC=ADになるのも理解できるのですが、与えられた条件からではそれを導くこともできなさそうです・・・すいません、AC=ADになる(三角形ACDは二等辺三角形になる)理由を、再度ご教授いただけないでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)
No.3
19421
17pt
PAとCDが平行なので、BP:PC = BA:AD です。
また、AB:AC = BP:PC なので AB:AC = BA:AD になります。
ABとBAは共通なので同じ長さです。
そうすると同じ比であるACとAD は同じ長さです。よって、三角形ACDは二等辺三角形です。低角の角ACDと角ADCは等しくなります。
また、PAとCDが平行なので、錯覚により角PAC=角ACD, 同位角により角BAP=角D です。
よって、角BAP=角PAC となり、直線ABは角BACの二等分線であることが証明されました。
あっ、そういうことですか！？
nkgwcemさんや、kmdsbngさんにも疑問を提示してしまったのですが、「AC=ADになる理由」について、frkw2004さんの回答で、なんとなくわかりました！
AB：CD = BA：DA
という式において、ABとBAは辺の長さが完全に等しい、AB=BAだから、対応するCD：DAも、CD=DA(AC=AD)になるってわけですね！！
nkgwcemさん、kmdsbngさん、私の理解力が乏しいせいで、しつこく質問をしてしまってすいません<m(__)m>
No.4
45818
リンクありがとうございます！
ただ、逆なんですよね・・・「角●●が辺●●を二等分するとき、●●：●●＝●●：●●を証明せよ」については、gara_cpさんからいただいたリンク先には、いろいろ証明方法があって参考になったのですが、今回の私の質問は「AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。」なので、逆なのです。
APが角Aを二等分しているかどうかというのは、問題の時点では、定かではないのです(;_;)
No.5
31
17pt
＞Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとする
BA:AD=BP:PCになるところはよろしいでしょうか…？
（よろしければ、以下の部分は読み飛ばしてください）
----------------------------
Aを通り、BCと平行な線をひき、CDとの交点をQとすると、
△ABPと△DAQは相似
（同位角により∠ABP=∠DAQ、∠BAP=∠ADQ。
よって3つの角が等しくなるので）
ゆえにBA:AD=BP:AQ・・・1
平行四辺形の対辺なのでAQ=PC
ゆえにAQ=PC・・・2
１，２よりBA:AD=BP:PC
---------------------------
で、仮定よりAB:AC=BP:PC。
よってBA(AB):AD=AB:AC。
ゆえにAD=ACとなり、△ACDは二等辺三角形。
となれば、あとは∠ACD=∠ADC（二等辺三角形の底角）
∠ADC=∠BAP（平行線の同位角）
∠ACD=∠CAP（平行線の錯角）
以上のことから∠BAP=∠CAPであり、
APは角Aを二等分する
こんな感じでしょうか。
【別解】
PからAB、ACに垂線をおろし、それぞれ交点をE、Fとする。
△ABP:△ACP=AB:AC（高さが共通なので、面積比は底辺の比）
仮定よりAB:AC=BP:PCなので、
△ABP:△ACP=BP:PC
ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。
ここで直角三角形△AEPと△AFPにおいて、
斜辺APは共通、PE=PFより、
斜辺と他の1辺が等しいので
△AEP≡△AFP
よって∠EAP=∠FAPであり、
APは角Aを二等分する
なんていう考え方もできます。
BA：AD=BP：PCに関しては、「平行線と線分の比」というもので、最近理解することができました。nkgwcemさんの、
・・・
で、仮定よりAB：AC=BP：PC。
よってBA(AB)：AD=AB：AC。
・・・
という箇所も、平行線の線分の比が根拠ですよね？
AB：AC=BP：PC
BP：PC=BA(AB)：AD (∵平行線の線分の比)
∴ BA(AB)：AD=AB：AC
みたいな。
でもどうして、AD=ACになるのでしょうか？
BA(AB)：AD=AB：AC
は、辺の比が等しいだけで、長さが等しいわけではないので、AD=ACは導けないような気がするのですが・・・
また、別解の方も疑問に思ったのですが、
・・・、
△ABP：△ACP=AB：AC（高さが共通なので、面積比は底辺の比）
・・・
という箇所で、躓いてしまいました。「△ABP：△ACP=AB：AC」というのは、「△ABPと△ACPの比は、線分ABとACの比に等しい」という意味ですよね？ということは、△ABPと△ACPが相似であることが前提だと思うのですが、仮定から、
AB：AC=BP：PC
なので、2辺の比が等しいことはうかがえます。しかしこれだけでは、三角形の相似条件である、
①3つの辺の比がすべて等しい。
②2つの辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい。
③2組の角が等しい。
の、どれも満たすことができません(;_;)
ほんと理解力が乏しくてすいません(>_<)
もしよろしければ、お暇な時に、再度ご回答いただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>
No.6
233
17pt
まず、図にあるように、点Cを通るAPと平行な直線を引き
線分BAを延長した直線との交点をDとします。
冗長に書きますが、線分PAと線分CDは平行です。
ここでまず、
線分PAと線分CDが平行であるなら、
平行線の同位角、錯角が等しいことから
∠ADC = ∠BAP (1)
∠PAC = ∠ACD (2)
となることがわかります。
次に、
線分CDを底辺とする三角形BCDを考えたとき、
線分PAは、線分BCと線分BDを同じ比で分割します。
つまり
BP:PC = BA:AD
また、仮定より
BA:AC = BP:PC
ですから、
BA:AC = BP:PC = BA:AD
BA:AC = BA:AD
よって、
AC = AD
となります。
ここから、三角形ACDが二等等辺三角形であることがわかります。
三角形ACDが二等辺三角形であるなら、
∠ADC = ∠ACD (3)
であることは明らかです。
(1)(2)(3)から
∠BAP = ∠ACD = ∠PAC
∠BAP = ∠PAC
ということなり、
線分APが、∠BACを２等分していることがわかります。
以上
すごく丁寧でわかりやすいです！
「AC = ADになる理由」の理解に苦戦しましたが、なんとか理解できました。
ありがとうございます(^_^;)
No.7
31
17pt
No.5のnkgwcemです。
＞「△ABP：△ACP=AB：AC」というのは、「△ABPと△ACPの比は、線分ABとACの比に等しい」という意味ですよね？ということは、△ABPと△ACPが相似であることが前提だと思うのですが、
すみません。
△ABP:△ACP=AB:AC（高さが共通なので、面積比は底辺の比）
仮定よりAB:AC=BP:PCなので、
△ABP:△ACP=BP:PC
ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。
上記の部分で「△ABP:△ACP=AB:AC」と「△ABP:△ACP=BP:PC」を逆に書いてしまいました。
-----------------------
△ABP:△ACP=BP:PC（高さが共通なので、面積比は底辺の比）
仮定よりAB:AC=BP:PCなので、
△ABP:△ACP=AB:AC
ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。
-----------------------
これならご理解いただけますか？
BP、PCを底辺として面積計算する時、どちらも高さはAからBCに下ろした垂線になりますよね。
高さが共通だから、結局面積比は底辺の比で決まってしまうじゃないか、ということです。
相似の問題とは無関係です。
再度ご回答いただき、ありがとうございます(>_<)
△ABP：△ACP=AB：AC、というのは、「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」といった感じで解釈して、なんとかPE=PFであることを理解できた気がします(^_^;)
ただ、nkgwcemさんが最初に回答してくださった、
---------------------------
斜辺APは共通、PE=PFより、
斜辺と他の1辺が等しいので
△AEP≡△AFP
---------------------------
という箇所に、「えっ？」と思ってしまいました(>_<)
斜辺APが共通、PE=PFであることはわかったのですが、条件がこれだけだと、三角形の合同条件である「3辺がそれぞれ等しい」「2辺とその間の角が等しい」「1辺とその両端の角が等しい」の、どれも満たすことができないと思うのですが・・・(ToT)
∠APE=∠APFであることがわかれば、「2辺とその間の角が等しい」ということで、「△AEP≡△AFP」を導けると思うのですが・・・あるいはAE=AFを導いて、「3辺が等しい」ということで導けるのでしょうか・・・ほんとすいませんが、もしよろしければ、再度回答いただければ嬉しいです。
よろしくお願いします(>_<)
No.8
31
ここでベストアンサー
10pt
No.5,7のnkgwcemです。
>「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」
面積を求める式で考えれば分かりやすいと思いますよ。
AからBCに下ろした垂線をAHとすると
△ABP=1/2×AB×AH
△ACP=1/2×AC×AH
1/2とAHが共通だから、△ABP:△ACP=AB:ACとなる。
で、仮定よりAB:AC=BP:PCなので、この式は
△ABP:△ACP=BP:PC
と書き換えることができる。
一方で、今度は△ABPと△ACPの面積をBP,CPを底辺として計算してみる。
△ABP=1/2×BP×PE
△ACP=1/2×PC×PF
さっきは高さAHが共通だったから、△ABP:△ACP=AB:ACが成り立ったわけですよね。
同様に、PE=PFであれば△ABP:△ACP=BP:PCが成り立つわけですから、
それが成り立っている以上、PE=PFであると言えるのです。
合同条件についてですが、直角三角形ですから、直角三角形の合同条件が当てはまります。
↓下記のページを参照してみてください。
http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...
rsc
2009/12/04 07:40:22
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235
moon-fondu
リンクを探していただき、ありがとうございます！
特に「角の二等分線の性質を狩る」は読みごたえがあって、勉強になりそうです(^_^;)