高校数学の整数問題です。数学の得意な方お願い致します。

1.3で割ってあまりが0の数が3つあればその和は3の倍数

2.3で割ってあまりが1の数が3つあればその和は3の倍数

3.3で割ってあまりが2の数が3つあればその和は3の倍数

4.それ以外の場合は3で割ったあまりが0の数も1の数も2の数も

それぞれ2つしかないので、逆に言えば3で割ったあまりが0の数と

1の数と2の数がそれぞれ1つ以上存在する

3で割ったあまりが0の数と1の数と2の数の和は3の倍数

　その5つの数は、剰余で分類すると、３ｎ＋ｉ（ただし、i=0,1,2）の形で表すことができる。

(A,B,C)=(0,1,2),または、(0,2,1),(1,0,2),(1,2,0),(2,0,1),(2,1,0)とすると、5つの数は、次のパターンになる。「{ }」は、組合せを表すことにする。

AAAAA型：{0,0,0,0,0},{1,1,1,1,1},{2,2,2,2,2}

AAAAB型：{0,0,0,0,1},{0,0,0,0,2},{1,1,1,1,0},{1,1,1,1,2},{2,2,2,2,0},{2,2,2,2,1}

AAABB型：{0,0,0,1,1},{0,0,0,2,2},{1,1,1,0,0},{1,1,1,2,2},{2,2,2,0,0},{2,2,2,1,1}

AAABC型：{0,0,0,1,2},{1,1,1,0,2},{2,2,2,0,1}

AABBC型：{0,0,1,1,2},{0,0,2,2,1},{1,1,2,2,0}

　まず、上4つのAを3つ含む型からは、AAAを選ぶ場合、3つの数を{3a+i,3b+i,3c+i}（ただし、i=0,1,2）とすると、

　中国の剰余の定理から、

3a+i≡i,3b+i≡i,3c+i≡i　(mod 3)であるから、

(3a+i)^n+(3b+i)^n+(3c+i)^n≡3×(i^n)≡0 (mod 3)

よって、3で割り切れる。

　次に、最後のAABBC型からは、nが奇数のとき、ABCを選ぶと、3つの数を{3a,3a+1,3b+2}とすると、

3a≡0,3b+1≡1,3c+2≡2≡-1　(mod 3)であるから、

(3a)^n+(3b+1)^n+(3c+2)^n≡0+1+(-1)^n≡1-1≡0 (mod 3)　（∵nは、奇数）

　よって、3で割り切れる。

　また、nが偶数のとき、剰余が0以外のものを3つ選べば、3つの数は、{3a+1,3b+1,3c+2}または、{3a+1,3b+2,3c+2}

(3a+1)^n+(3b+1)^n+(3c+2)^n≡1+1+(-1)^n=1+1+1=3≡0　（∵nは、偶数）

(3a+1)^n+(3b+2)^n+(3c+2)^n≡1+(-1)^n+(-1)^n=1+1+1=3≡0　（∵nは、偶数）

　よって、3で割り切れる。

●中国の剰余定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B...

こんな証明でいかがでしょうか。

（以下では「aのn乗」を「a^n」と表記することにします。）

まず、以下の命題(i)～(iii)が全て真であることは自明です。
(i) xを3で割った余りが0であれば、
    x^n を3で割った余りは0である。
(ii) xを3で割った余りが1であれば、
    x^n を3で割った余りは1である。
(iii) xを3で割った余りが2であれば、
    x^n を3で割った余りは
        nが奇数なら2、
        nが偶数なら1
    である。

また、ある2つの整数 x, y を3で割った余りが等しいとき、
x^n と y^n を3で割った余りがそれぞれ等しくなることは自明ですので、
5つの整数を a, b, c, d, e とし、
    0 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d ≦ e ≦ 2
として考えても一般性を失いません。

a, b, c, d, e の中に同じ数字が3つ以上あれば、
その中から3つを選択することによってn乗の和を3の倍数にすることができます。
（例えば (a, b, c, d, e) = (0, 1, 1, 1, 2) のとき、
  3つの整数として b, c, d を選択すれば b^n + c^n + d^n は3の倍数となります。）

そこで、同じ数字が3つ以上存在しない場合を考えれば十分ということになります。
そのようなケースは
    (0, 0, 1, 1, 2)
    (0, 0, 1, 2, 2)
    (0, 1, 1, 2, 2)
の3通りしかありません。

(A) (a, b, c, d, e) = (0, 0, 1, 1, 2) の場合
    (A-1) nが奇数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 2)となります。
        このとき a, c, e を選択すれば a^n + c^n + e^n を3の倍数にすることができます。
    (A-2) nが偶数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 1)となります。
        このとき c, d, e を選択すれば c^n + d^n + e^n を3の倍数にすることができます。
(B) (a, b, c, d, e) = (0, 0, 1, 2, 2) の場合
    (B-1) nが奇数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 2, 2)となります。
        このとき a, c, d を選択すれば a^n + c^n + d^n を3の倍数にすることができます。
    (B-2) nが偶数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 1)となります。
        このとき c, d, e を選択すれば c^n + d^n + e^n を3の倍数にすることができます。
(C) (a, b, c, d, e) = (0, 1, 1, 2, 2) の場合
    (C-1) nが奇数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 1, 1, 2, 2)となります。
        このとき a, b, d を選択すれば a^n + b^n + d^n を3の倍数にすることができます。
    (C-2) nが偶数の場合
        (i)～(iii)より、a～eのn乗を3で割った余りは(0, 1, 1, 1, 1)となります。
        このとき b, c, d を選択すれば b^n + c^n + d^n を3の倍数にすることができます。

以上より、5つの整数がどのようなものであっても
n乗の和が3の倍数になるような3つの整数を選べることが示せました。