ベクトルを使えばいいのでしょうか、

前提知識として

・スカラー三重積の公式

Ｘ・（Ｙ×Ｚ）＝Ｙ・（Ｚ×Ｘ）＝Ｚ・（Ｘ×Ｙ）

・ベクトル三重積の公式

Ｘ×（Ｙ×Ｚ）＝（Ｘ・Ｚ）Ｙ－（Ｘ・Ｙ）Ｚ

を利用します。

おそらくどの教科書にも書いてあると思います。

Ａ×Ｂ＝Ｅとおくと

（Ａ×Ｂ）×（Ｃ×Ｄ）＝Ｅ×（Ｃ×Ｄ）

ベクトル三重積の公式から

Ｅ×（Ｃ×Ｄ）＝（Ｅ・Ｄ）Ｃ－（Ｅ・Ｃ）Ｄ　　・・・（１）

さて、内積は積の順序を入れ替えても良いこと、およびスカラー三重積の公式より

Ｅ・Ｄ＝Ｄ・Ｅ＝Ｄ・（Ａ×Ｂ）＝Ａ・（Ｂ×Ｄ）　　・・・（２）

同様に

Ｅ・Ｃ＝Ｃ・Ｅ＝Ｃ・（Ａ×Ｂ）＝Ａ・（Ｂ×Ｃ）　　・・・（３）

（２）と（３）を（１）に代入すれば

（Ａ×Ｂ）×（Ｃ×Ｄ）＝（Ａ・(Ｂ×Ｄ)）Ｃ－（Ａ・(Ｂ×Ｃ)）Ｄ

が得られます。