【割り出していただければ１００ポイント】

まずは各都道府県内を走る線路の長さを計算し、それを列車の前後の停車駅間の速度の平均速度で割る、という方法はどうでしょうか？

距離の測定にはこちらのサイトがお薦め。

http://www.mapion.co.jp/route/

マピオンの「キョリ測」はどうでしょうか？県境を跨ぐ線路上で距離を測定し、それとその県内を走るその他の駅間の距離の和を足せばその県内での路線長を算出することが出来ます。

次に駅間の速度ですが、これは若干の誤差が出る可能性は含みますが「それぞれの停車駅ごとの距離」÷「所要時間」で計算するのが一番客観的にも正しいデータが得られると思います。あと時刻表上には乗っていませんが、上り、下りとも通過となる駅で若干の運転停車(客扱いはしないが駅で停車すること)をします。そのデータも参考までに示しておきます。

下り北斗星　

盛岡駅 1:43着1:45発

青森駅 4:10着4:20発

蟹田駅 4:45着4:46発

落部駅 7:42着7:51発

下りカシオペア

青森　1:50着2:47発

蟹田　3:12着3:13発

上り北斗星　２レ

蟹田駅 23:37着23:39発

青森駅 0:04着0:14発

盛岡駅 2:38着2:40発

上りカシオペアは申し訳ないですが時刻が分らず。。

あとはひたすらパソコンやら時刻表やら電卓やらとにらめっこして頑張って計算してみてください。