問題文は、添付ファイルをご覧いただければ幸いです。
そもそも何の公式なのかも、さっぱりわからない状態でして・・・(ToT)
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>
i,j,kは、高校流に表せば、↑e_x,↑e_y,↑e_zです。
A=Axi+Ayj+Azk を成分で表せば、 A=(Ax,Ay,Az)
B=Bxi+Byj+Bzk を成分で表せば、 B=(Bx,By,Bz)
ベクトル ↑uを大文字のU一文字で表すことにすると、まず、基本公式として、一般に、
ベクトルU=(x,y,x) の各成分が実数 t の関数であるとき,
dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
※1番目のURL参照。あるいは、2番目のURLの(33)式(7ページ目)参照。
(1)方針としては、成分で表して、証明します。行数節約のため、行ベクトルで表しますが、自分で紙に書くときは列ベクトルにすると見やすいです。それから、たとえば、(d/dt)Ax=Ax'で表すことにします。
A+B=(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)
∴
(左辺)=(d/dt)(A+B)
=((d/dt)(Ax+Bx),(d/dt)(Ay+By),(d/dt)(Az+Bz))
=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・①
(右辺)=(d/dt)A+(d/dt)B
=(Ax',Ay',Az')+(Bx',By',Bz')
=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・②
①,②から、
∴(d/dt)(A+B)=(d/dt)A+(d/dt)B
(2)<A, B> は A と B の内積を表すようです。
<A, B>=AxBx+AyBy+AzBz ←スカラーになっています。
Ax,Bx,Ay,By,Az,Bzは、tの関数で、積の微分法を用いて、
∴
(左辺)=(d/dt)<A, B>
=(Ax'Bx+AxBx')+(Ay'By+AyBy')+(Az'Bz+AzBz')
=(Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz)+(AxBx'+AyBy'+AzBz')・・・③
<(d/dt)A, B>=Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz・・・④
<A, (d/dt)B>=AxBx'+AyBy'+AzBz'・・・⑤
③,④,⑤から、
∴(d/dt)<A, B>=<(d/dt)A, B>+<A, (d/dt)B>
※2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)でもいいです。
(3)方針としては、成分で表して、証明します。
A×B=|i j k | |Ax Ay Az| |Bx By Bz| =(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k
∴成分で表すと
A×B=(AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx)・・・⑥
同様にして、
(d/dt)A×B=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)・・・⑦
A×(d/dt)B=(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')・・・⑧
∴
⑥から、
(左辺)=(d/dt)(A×B)
=((d/dt)(AyBz-AzBy),(d/dt)(AzBx-AxBz),(d/dt)(AxBy-AyBx))
x成分について、Ay,Az,By,Bzは、tの関数で、積の微分法から、
(d/dt)(AyBz-AzBy)=Ay'Bz+AyBz'-Az'By-AzBy'
=(Ay'Bz-Az'By)+(AyBz'-AzBy')・・・⑨
y成分について、同様にして、
(d/dt)(AzBx-AxBz)=Az'Bx+AzBx'-Ax'Bz-AxBz'
=(Az'Bx-Ax'Bz)+(AzBx'-AxBz')・・・⑩
z成分について、同様にして、
(d/dt)(AxBy-AyBx)=Ax'By+AxBy'-Ay'Bx-AyBx'
=(Ax'By-Ay'Bx)+(AxBy'-AyBx')・・・⑪
⑦,⑧から、
(右辺)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B
=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)+(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')
=((Ay'Bz-Az'By)+(AyBz'-AzBy'),(Az'Bx-Ax'Bz)+(AzBx'-AxBz'),(Ax'By-Ay'Bx)+(AxBy'-AyBx'))・・・⑫
⑨,⑩,⑪,⑫から、
∴(d/dt)(A×B)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B
※参考URL
●ベクトルと微分
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node68.html
●1 ベクトル
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:MEXoFSsnLs4J:www-het.p...
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/lecture/am03/vec...
●数学記号の表
<x, y> は x と y の内積を表す
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B...
●ベクトルの演算(4)
>ベクトルの内積の微分
http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/vecten4.html
●外積と微分
http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/taiwa2/inryoku/node12....
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1136477...
ベクトルの公式証明問題のようだね
左辺/右辺のどちらからでもいいから、成分をあらわす式(例えば な感じ)にどんどん置き換えていけば辿り付くよ
課題は自分で解かないと意味無いから、この先は講義で使ったテキストやプリント、ノートを読み直して
(「ベクトル 公式」で検索してもいいけどね。検索して検証したならば自力で調べたと言えるし、スキルアップにもなるしね)
そうですよね・・・でも、自力で解ける水準になるには、多くの問題をインプットしておかないと難しい気もするので・・・講義で使ったテキストやプリントはあまり当てにならないので・・・いつもここに甘えてます・・・(^_^;)
i,j,kは、高校流に表せば、↑e_x,↑e_y,↑e_zです。
A=Axi+Ayj+Azk を成分で表せば、 A=(Ax,Ay,Az)
B=Bxi+Byj+Bzk を成分で表せば、 B=(Bx,By,Bz)
ベクトル ↑uを大文字のU一文字で表すことにすると、まず、基本公式として、一般に、
ベクトルU=(x,y,x) の各成分が実数 t の関数であるとき,
dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
※1番目のURL参照。あるいは、2番目のURLの(33)式(7ページ目)参照。
(1)方針としては、成分で表して、証明します。行数節約のため、行ベクトルで表しますが、自分で紙に書くときは列ベクトルにすると見やすいです。それから、たとえば、(d/dt)Ax=Ax'で表すことにします。
A+B=(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)
∴
(左辺)=(d/dt)(A+B)
=((d/dt)(Ax+Bx),(d/dt)(Ay+By),(d/dt)(Az+Bz))
=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・①
(右辺)=(d/dt)A+(d/dt)B
=(Ax',Ay',Az')+(Bx',By',Bz')
=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・②
①,②から、
∴(d/dt)(A+B)=(d/dt)A+(d/dt)B
(2)<A, B> は A と B の内積を表すようです。
<A, B>=AxBx+AyBy+AzBz ←スカラーになっています。
Ax,Bx,Ay,By,Az,Bzは、tの関数で、積の微分法を用いて、
∴
(左辺)=(d/dt)<A, B>
=(Ax'Bx+AxBx')+(Ay'By+AyBy')+(Az'Bz+AzBz')
=(Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz)+(AxBx'+AyBy'+AzBz')・・・③
<(d/dt)A, B>=Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz・・・④
<A, (d/dt)B>=AxBx'+AyBy'+AzBz'・・・⑤
③,④,⑤から、
∴(d/dt)<A, B>=<(d/dt)A, B>+<A, (d/dt)B>
※2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)でもいいです。
(3)方針としては、成分で表して、証明します。
A×B=|i j k | |Ax Ay Az| |Bx By Bz| =(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k
∴成分で表すと
A×B=(AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx)・・・⑥
同様にして、
(d/dt)A×B=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)・・・⑦
A×(d/dt)B=(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')・・・⑧
∴
⑥から、
(左辺)=(d/dt)(A×B)
=((d/dt)(AyBz-AzBy),(d/dt)(AzBx-AxBz),(d/dt)(AxBy-AyBx))
x成分について、Ay,Az,By,Bzは、tの関数で、積の微分法から、
(d/dt)(AyBz-AzBy)=Ay'Bz+AyBz'-Az'By-AzBy'
=(Ay'Bz-Az'By)+(AyBz'-AzBy')・・・⑨
y成分について、同様にして、
(d/dt)(AzBx-AxBz)=Az'Bx+AzBx'-Ax'Bz-AxBz'
=(Az'Bx-Ax'Bz)+(AzBx'-AxBz')・・・⑩
z成分について、同様にして、
(d/dt)(AxBy-AyBx)=Ax'By+AxBy'-Ay'Bx-AyBx'
=(Ax'By-Ay'Bx)+(AxBy'-AyBx')・・・⑪
⑦,⑧から、
(右辺)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B
=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)+(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')
=((Ay'Bz-Az'By)+(AyBz'-AzBy'),(Az'Bx-Ax'Bz)+(AzBx'-AxBz'),(Ax'By-Ay'Bx)+(AxBy'-AyBx'))・・・⑫
⑨,⑩,⑪,⑫から、
∴(d/dt)(A×B)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B
※参考URL
●ベクトルと微分
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node68.html
●1 ベクトル
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:MEXoFSsnLs4J:www-het.p...
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/lecture/am03/vec...
●数学記号の表
<x, y> は x と y の内積を表す
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B...
●ベクトルの演算(4)
>ベクトルの内積の微分
http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/vecten4.html
●外積と微分
http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/taiwa2/inryoku/node12....
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1136477...
なるほどです、1番目と2番目のURL、参考にさせていただきました!
「ベクトルの微分」なるものを使えば、証明できるそうで。そして、
■□■□■□■□■□
ベクトルU=(x,y,z) の各成分が実数 t の関数であるとき,
dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
■□■□■□■□■□
が、ベクトルの微分の基本公式ですね!
列ベクトルは、
(Ax+Bx)
A+B=(Ay+By)
(Az+Bz)
な感じですよね、レイアウトが崩れちゃいやすい感じの・・・(^_^;)
(1)は、基本公式を普通に当てはめれば証明出来るみたいで。
(2)は、そうなんです、山カッコが何を意味しているのか判然としてなかったのですが・・・リンク先の「数学記号の表」拝見しました!rsc96074さんはリサーチ力もすごいですね(TωT)
ここでちょっと詰まりましたが、「2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)」を拝見すると、「ベクトルの積を微分するときも、積の微分法の公式(24)を用いればよい。」と書かれてあったのが参考になりました!
(f(x)g(x))'= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
は、ベクトルの積にも使えるんですね~。
(3)は、(2)を複雑にした感じですね。
でもなんとなく理解できました、ありがとうございます!
ただ、一つだけ疑問が残りまして。
(3)で、rsc96074さんが一番最初に書いてくださった、
A×B=|i j k |
|Ax Ay Az|
|Bx By Bz|
=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k
についてなのですが、どうして一行目にi、j、kと、出てきているのでしょうか?
そもそも、AとBを掛け合わせたものが「三行三列の行列でも表せる」という根拠を、問題文のうちのどこに見出せばよいのでしょうか?AもBも、項が3つあるからでしょうか?
すごく当たり前のことを聞いているかもしれず、申し訳ないのですが、再度ご回答いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)
なるほどです、1番目と2番目のURL、参考にさせていただきました!
「ベクトルの微分」なるものを使えば、証明できるそうで。そして、
■□■□■□■□■□
ベクトルU=(x,y,z) の各成分が実数 t の関数であるとき,
dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
■□■□■□■□■□
が、ベクトルの微分の基本公式ですね!
列ベクトルは、
(Ax+Bx)
A+B=(Ay+By)
(Az+Bz)
な感じですよね、レイアウトが崩れちゃいやすい感じの・・・(^_^;)
(1)は、基本公式を普通に当てはめれば証明出来るみたいで。
(2)は、そうなんです、山カッコが何を意味しているのか判然としてなかったのですが・・・リンク先の「数学記号の表」拝見しました!rsc96074さんはリサーチ力もすごいですね(TωT)
ここでちょっと詰まりましたが、「2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)」を拝見すると、「ベクトルの積を微分するときも、積の微分法の公式(24)を用いればよい。」と書かれてあったのが参考になりました!
(f(x)g(x))'= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
は、ベクトルの積にも使えるんですね~。
(3)は、(2)を複雑にした感じですね。
でもなんとなく理解できました、ありがとうございます!
ただ、一つだけ疑問が残りまして。
(3)で、rsc96074さんが一番最初に書いてくださった、
A×B=|i j k |
|Ax Ay Az|
|Bx By Bz|
=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k
についてなのですが、どうして一行目にi、j、kと、出てきているのでしょうか?
そもそも、AとBを掛け合わせたものが「三行三列の行列でも表せる」という根拠を、問題文のうちのどこに見出せばよいのでしょうか?AもBも、項が3つあるからでしょうか?
すごく当たり前のことを聞いているかもしれず、申し訳ないのですが、再度ご回答いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)