鉄でできた高さh、底面の半径をrでできた円錐があります。
その円錐の体積の求め方で皆さんが考えつくさまざまな方法を教えてください。
すでに同一の考え方の回答がある場合は全くポイントを差し上げる事が出来ない場合がありますのでご了承ください。
No.1
3037
202
15pt
・水をぎりぎりまで入れた四角形の水槽を用意します。
・その水槽に体積を求める円錐を入れます。（水が溢れます）
・円錐を取り除きます。（初めに円錐を紐で縛っていて、その紐をひっぱって水から引き上げます）
・減った水の分の体積を測ります。（水槽の水が減った部分）
「（底面の幅）×（底面の奥行）×（高さ）」
でもとめられると思います。
No.2
49732154
15pt
教科書的な答えだが...
No.4
17112
15pt
他人の回答にケチ付けて、何にも案を出さないのはよくありませんので。ただ実に下らん実用に使えない方法ですので、０点にしてください。
スキャナーを使い、各高さ毎の断面積を積分する。（筆算でも、コンピュータでもよい）
・・・複雑な図形ならともかく単なる円錐に？ 、あほとちゃう。
No.6
3010
15pt
【１】
断面積＝Ｓ＝一定の容器に水をある程度入れ、
円錐を沈め（完全に沈まる量の水を入れておく）、
水面の変化分をｈを測定。
Ｓ×ｈで体積でるかと…
【２】
３Ｄスキャナに掛けて、
データから体積を割り出す。
No.8
4503437
15pt
積分してみました。(^_^;
高さｚの位置での円の面積S(z)は、その半径をr(z)とすると、
r(z)=r-(r/h)z=r(1-z/h)
∴S(z)=πr(z)^2=πr^2(1-z/h)^2
∴V=∫[0,h]{πr^2(1-z/h)^2}dz
1-z/h=tとおくと、dt=-(1/h)dz∴dz=-hdt
∴V=∫[1,0]{πr^2*t^2}(-h)dt
=(πr^2)h∫[0,1]{t^2}dt
=(1/3)(πr^2)h
※検算
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%5B%7B%CF%80r%5E2%...
No.9
251
15pt
底面を除いて表面をすっぽり覆う粘土型を作る。その粘土型の容積＝円錐の体積。
(粘土型の容積は水を入れるとかで調べる。円錐の公式を習う前の学習実験みたいなイメージ？)
空気読んでない回答ですんません。
No.10
150
15pt
対象を断熱材で完全に覆った後に、電極を取り付けて一定量の電力を通した時間と対象の温度を計測して、温度上昇の値と電力×時間による発熱量から対象の熱容量を計算して、鉄の比熱と密度から体積を計算できます。
長さや重さを一切測らずに計測できます。
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コメント（19件)
「（底面の幅）×（底面の奥行）×（高さ）」は円錐（楕円錘）の場合「（底面の幅）/2×（底面の奥行）/2×（高さ）」*円周率/3だと思います。
また、水槽を使っての体積測量は良く知られていますが、表面張力や、容器の圧力変形を考えれば、あまり精度は望めません。（理論としては正しいでしょうが、方法的（技術的）に誤差の多い手法です。」
「四角形の水槽」の水の減った部分の事を指しているんだと思いますけど。
それよりも、紐で縛ってるので、その紐の分の誤差（紐が押しのける分と、紐が給水する分）の方が水槽に由来する誤差よりずっと大きい気が…
tibitoraさんの回答で水の体積でなく、重さに替えた方が精度は上がります。一応、水の密度は１g/(cm^3)と仮定,水槽の重量はいくらでもよい
・水を入れた水槽を用意します。（円錐を入れても溢れないくらい） ＝＝＞ 水槽共の重量を測ります・・・ここで仮に10000ｇ有ったとします。
・その水槽に体積を求める円錐を入れます。（釣った糸、紐はなるべく水につけない）＝＝＝＞水槽共の重量を測ります・・・ここで仮に10100ｇ有ったとします。
10100ー10000＝100 答え100立方センチメートル のように計算できます。
ちなみに物質の比重は
・円錐の紐を外し水槽の底へ沈めます。＝＝＝＞水槽共の重量を測ります・・・ここで仮に10786ｇ有ったとします。
(10786-10000)/(10100-10000)=7.86 で比重は（≒密度）は7.86となります。
◎円錐を糸で秤りに吊るし（A＝786ｇ）、水に全体を浸けた時の重さ（B＝686g）との差（軽くなった分C=100ｇ）が体積に等しい
比重はA/(A-B)で算出
ここで、勝手な仮定や数値を使っていますが、あくまで手法説明の補助と考えてください。
この方法は、水より軽い物質には使えません（一応、鉄円錘と言うことで）
> ＝＝＝＞水槽共の重量を測ります・・・ここで仮に10100ｇ有ったとします。
横からすみません、水槽に測定対象物を沈めた時の様子がうまくイメージできないので、補足してもらえますか？
kuro-yoさん、> ・その水槽に体積を求める円錐を入れます。（釣った糸、紐はなるべく水につけない）
上は水を張った入れ物に対象物を水面ギリギリに沈めた状態、
---水槽に測定対象物を沈めた時の様子がうまくイメージできないので---
文字どおりです。実際にやってみてください、イメージが沸くでしょう。それ以上は説明できません、幼稚園の子でも理解できるとおもいますが。
itaさん、金でも合金だろうが、中空だろうが、全体が水に沈む物質ならば、比重はもとまります。純物質のみの密度を求めているのではありませんので、ここでの比重とは体積全体の平均密度です。
いえ、イメージ（思考実験）できないので、やってみる事はできません。
100ccの物体をどう沈めれば、計測結果を10100gにできるのかがわからないのです。
何を求めたいのかによって、やり方は異なってくるかと思いますが、水槽の考え
方はいい方法だと思います。
中が中空で水に浮く場合でも、水面下まで押し沈めればこの方法は使用できますね。
（水圧で変形しない程度の強度があればですが。）
イメージはこんな感じでしょうか。
| | |
| | |
|________|_________|
| ∧ |
| / 〵 |
| / 〵 |
| /_____〵 |
| |
| |
+------------------+
〵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿/
はかり
数学ならともかく、現実には理想的な円錐は存在しませんから、３Ｄスキャン方法、
も現実的には有効な方法だと思います。
今回スケールが提示されていませんが、移動できないない程巨大なものだったら
どうだとか、ミクロの大きさだったらどうだとか、やり方はケースバイケースに
なる気もします。
やっぱりうまく出なかった。
notepad などで等幅フォントで見てください。
ITAさん、「比重とは体積全体の平均密度です。」と書きましたが、水に対する数値が同じだけで、比重は無名数（水と物質の密度比です）、密度のディメンションはｍ/（L＾３）｛ｍ：質量、L:長さ）具体的な単位はｇ/(cm^3)等です。訂正いたします。
それと（比重はお呼びでないのは重々承知ですが）水に沈む物質ならどんな物でもとはいかないようですね。（質問では「鉄でできた」とあるので助かりますが）塩や砂糖、水と反応する（または溶解する）物質は（重量は分かりますが）体積が計れないですね。また、水より軽い物質でもその体積、重量の計測は可能ですが、空気の様な気体や圧縮される物質ならば、容量がむつかしいですね（ゴム風船のび縮みするし、かと言って収縮しない容器に入れると、内容物質の体積を求めているのか、容器の外体積を求めているか分かりません）水圧での収縮・膨張がなければ、容器に入れて沈めれば体積（容器の実体積｛≒表面積×厚さ｝を差し引いて）は分かるし、重さも押し付ける力から（重さ＝水の体積ー押し付ける力）計算できますね。＝＝（あくまで単位ディメンションは無視して数値のみで）
かなり元の質問から逸脱したコメントを書きました、すみません。今度こそ自重して、コメント参加も控えます。
> 水槽に物を押し込み、底につかなければその体積分の重みが加わる
私の古典力学の理解が不充分でした。こんな気持ち悪い現象が起きるとは思えなかったのですが、じっくり考えてみると、確かにその通りです。ごく単純な作用反作用の法則ですよね。
９桁くらいは欲しいとか、底面が凹凸あるとか？
であるとすれば現状日本の精密工業では６番の回答のように排除体積法（超音波振動による泡の排除と静置で時間かかりそう）か、急ぐならレーザー等による３Ｄスキャンで工夫しているのでは。
鉄だろうが、アルミだろうが体積は同じですよね。
一口に鉄と言っても、純鉄のまま用いるのはまれで、実際には様々に調質されていますので、比重もまちまちですし、また、加工方法（例えば、粉体成形など）によっても違うようです。
7.86と言うのは私が（算出手順のため）勝手に仮定した値であり。７でも、８でもあまり深い意味は無い（個々の金属の比重を正確に表現したものでない）と思ってください。
あなたは、おかしな方向に行きますね。
貴方の記述の｛私の古典力学の理解が不充分でした。こんな気持ち悪い現象が起きるとは思えなかったのですが、じっくり考えてみると、確かにその通りです。ごく単純な作用反作用の法則ですよね。｝作用･反作用と全く関係ないとはいえませんが、この件に関しては、｛主な現象｝ではありません。takusanさんの記述にある「鉄だろうが、アルミだろうが体積は同じですよね。」の体積が押しのける水の重さが加わるだけです。
自粛中ですので。
f:id:YAMADAMAY:20040202084601j:image
写真の為、読みにくい文字は以下の通りです。
（図１） （図２）
円錐を入れる前 水面ギリギリに沈めた状態
重さ＝水＋水槽 重さ＝水＋水槽＋円錐の体積分の水の重さ
A=W+C B=W+C+Ew
D(円錐の体積）＝B-A
（図３）
水槽の底へ沈めた状態
重さ＝水＋水槽＋円錐の重さ
C=W+C+E
F(円錐の比重）＝（C-A）/（B-A）
> 体積が押しのける水の重さが加わるだけです。
その「体積が押しのける水の重さが加わる」機序について、私が理解した事を簡潔に書いたにすぎませんし、もとより、YAMADAMAYさんの言う「この件」について何か意見を書こうとしたものではありません。前の方で「わからない」と書いた手前、その件についてわかった旨を明らかにしただけですので。