Visual Studio 2008で、VB.NETのWindowsアプリを作成しています。

コードの一部です。

Public Class ButtonEx
　　Inherits Button

　　Public Sub New()
　　　　MyBase.New()

　　　　If Me.Tag = "ほげ" Then
　　　　　　' Tagプロパティの値に応じて下記のようにボタンの外観を変えたいが、
　　　　　　' この段階では、まだ、デザイナで個々のButtonExインスタンスに設定したTagの
　　　　　　' 値が有効になっていないので、この条件式が真になることは無し。
　　　　　　Me.FlatStyle = System.Windows.Forms.FlatStyle.Flat
　　　　End If
　　End Sub

　　' 親クラスであるButtonクラスのどのメソッドをオーバーライドすれば、よいか。
　　' コンストラクタ内での記述がだめなら、おそらくインスタンスが生成された直後に一度だけ
　　' 呼ばれるメソッドが適当

すいません。伝わっていなかったようです。私は外観の変更の仕方を書いたのではありません。

プロパティとは、外からは変数のように扱えて、内部から見ればメソッドのように扱える、というものです。外から変数のようにプロパティを変更すると、内部ではメソッドのように好きな処理を行えます。
プロパティが「ほげ」に書き換えられたらこのようにスタイルを変更する、ということが可能になります。
(詳細は回答のリンクをご覧ください)

基本的に、変数に見えるメソッドですが、プロパティだとデザイナの変数（プロパティ）一覧にも表示されて、そこで編集ができます。

また、Tagプロパティを上書きすれば、Tagの中身を変更したときにボタンのスタイルを変更させることも可能です。

フォーム（Form1）上に貼り付けたButtonExをデザイン画面で変更すると
Form1.Designer.vbにその設定が書き込まれます。
（デフォルトではソリューション エクスプローラーでは非表示）

例）ボタンの貼り付け後に、ButtonEx1.FlatStyleとTagを変更した
Form1.Designer.vbの中身

'Windows フォーム デザイナを使用して変更できます。
'コード エディタを使って変更しないでください。
<System.Diagnostics.DebuggerStepThrough()> _
Private Sub InitializeComponent()
Me.ButtonEx1 = New VBButton.ButtonEx
Me.SuspendLayout()
'
'ButtonEx1
'
Me.ButtonEx1.FlatStyle = System.Windows.Forms.FlatStyle.Flat
Me.ButtonEx1.Location = New System.Drawing.Point(77, 31)
Me.ButtonEx1.Name = "ButtonEx1"
Me.ButtonEx1.Size = New System.Drawing.Size(75, 23)
Me.ButtonEx1.TabIndex = 0
Me.ButtonEx1.Tag = "AA"
Me.ButtonEx1.Text = "ButtonEx1"
Me.ButtonEx1.UseVisualStyleBackColor = True

これを見るとMe.ButtonEx1をNewした後にプロパティの設定を
しているのが分かります。

Me.ButtonEx1.FlatStyle = System.Windows.Forms.FlatStyle.Flat
の後に
Me.ButtonEx1.Tag = "AA"

が設定されているので、この場合はTagの変更時にMe.ButtonEx1.FlatStyleを
再設定するコードを書けばうまく動きます。

ただ、FlatStyleとTagをファイルに記述する順番がデザイナで確実に決まっているかは
私は知りません。もし逆の順番になってしまった場合は、Tagの変更イベントで
FlatStyleが設定され、そのあとでデザイナがFlatStyleを設定するので
思い通りには動作しません。


一番確実なのは、親フォーム（Form1）のInitializeComponentが
呼び出された後のタイミングです。


今のままで一番簡単な方法は
ボタンのPaintイベントもしくは、OnPaintをオーバーライドする方法です。
ただし、ボタンのFlatStyleを Systemに変更された場合はイベントが
来なくなるのでFlatStyleを外部から変更できないようにする必要があります。


Private buttonStyleFlg As Boolean = True

Private Sub ButtonEx_Paint(ByVal sender As Object, ByVal e As System.Windows.Forms.PaintEventArgs) Handles Me.Paint
If buttonStyleFlg = True Then
Me.FlatStyle = System.Windows.Forms.FlatStyle.Flat
buttonStyleFlg = False
End If
End Sub


アプリケーション内のボタンのスタイルを一括で揃えるという仕様なら
私だったらFormのベースクラスを作って、フォームのInitializeComponentの
あとでFormに追加されているコントロールを探して、ボタンだったらスタイルを揃えるようにします。
それとボタンのTagに設定を持たせないで、アプリケーション構成ファイルに
設定を記述します。

皆さんありがとうございました。
プロパティについてももっと勉強してみます。
OnPaintメソッドをオーバーライドしてできました。