【定理or予想】
命題「４つの正整数ｎ，ｍ，Ｎ，Ｍが、０＜ｎ＜Ｎ、０＜ｍ＜Ｍを満たしているとき、２つの正整数ｘ，ｙをうまく選べば、次の関係が成り立つようにできる：（２＾Ｎ）ｙ－（３＾Ｍ）ｘ＝（２＾ｎ）（３＾ｍ）」を、あまりエレガントでない方法ですが、証明できたような気がするのですが、
１）もしこれが既知の定理なら、証明者や名称を教えてください。この命題とほとんど等価な定理であれば結構です。
２）もし反例があれば、教えてください。
３）エレガントな証明方法があれば、何か示唆してください。
No.2
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100pt
こちらは参考になるでしょうか。
定理 7 整数係数の方程式ax+by=1について次のことが成り立つ．
(1) 整数解が存在すればaとbは互いに素である．
(2) aとbが互いに素なら整数解が存在する．
一次不定方程式
a,bが互いに素のとき(gcd(a,b)=1)、方程式
ax+by+c=0
のある一つの解を[x0,y0]とする。一般解はt∈Z(整数)を使って
x=x0-bt,y=y0+at
と書ける。
wxMaximaの使い心地（その１２） - 271828の滑り台Log
両方を組み合わせると、
a,bが互いに素である正整数のとき、
ax-by=1
を満たすx,yの正整数解の組が存在する、
が導き出せそうな気がします。数学は苦手なのであまり自信がありません。
No.2
814232
ここでベストアンサー
100pt
こちらは参考になるでしょうか。
定理 7 整数係数の方程式ax+by=1について次のことが成り立つ．
(1) 整数解が存在すればaとbは互いに素である．
(2) aとbが互いに素なら整数解が存在する．
一次不定方程式
a,bが互いに素のとき(gcd(a,b)=1)、方程式
ax+by+c=0
のある一つの解を[x0,y0]とする。一般解はt∈Z(整数)を使って
x=x0-bt,y=y0+at
と書ける。
wxMaximaの使い心地（その１２） - 271828の滑り台Log
両方を組み合わせると、
a,bが互いに素である正整数のとき、
ax-by=1
を満たすx,yの正整数解の組が存在する、
が導き出せそうな気がします。数学は苦手なのであまり自信がありません。
ありがとうございます。
なるほど、確かにその通りです。
私が書いた命題は、この特別な場合にすぎないですね。
ax-by=1
を満たすx,yの正整数解の組
a(x+bt)-b(y+at)=ax-byですので、存在します。
くろょ
2011/07/02 23:22:28
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ありがとうございます。
なるほど、確かにその通りです。
私が書いた命題は、この特別な場合にすぎないですね。
a(x+bt)-b(y+at)=ax-byですので、存在します。