新潟大の過去問でわからない問題があります（模範解答はありません）

問題文って正確に写しています？

数学離れて久しいので絶対という自信がないのですが、点Aにおいて接線は存在しない気がするんですよね。
y=f(x)の曲線に関して、点Aでは接線が存在するでしょうが、y=|f(x)|は点Aで連続じゃないのじゃないかと。
単純に考えて、0方向から近づけた時と、逆から近づけたときで直線が違いますよね。

点Aが(p,|f(p)|)とかで、pの範囲を示せとからなら、解けるかなぁとも思いますが。

はい。
学校で出された問題なので多少原文からアレンジはされてるかもしれませんが、
一字一句間違えてません。

もしかして、点A(a,0)から、接線が2本引けて、共有点が3個ということ？(^_^;

ん～。一晩あけて考えて見たけど、出題ミスだと思う。
点Aの座標を(a,|f(a)|)と書くなら、普通は、(a,0)と書くだろうし。

問題文を移す時に、aが定数として使われていることに気付かず、点Aの座標の指定にもaを使っちゃったんじゃないかな。
もし自分が受験の際にこの問題に出会ったならば、点Aでは接線がないことを説明した上で、点Aの座標を、(p,|f(p)|)として与えた時のpの範囲を答えるかと思います。

ぱっと見ただけですけど、特に問題文に問題がある(シャレちゃいますよ)とは思えませんが。仕事が終わったら解答例を作成して明朝までに回答いたします。その前に他の方が回答されるかも知れませんけど。

んんっ！？、上のコメントに「学校で出された問題」と書かれてますけど、それをここで質問するってどういうこと？

学校で添削課題という自主課題的なのがありまして、
そこで出された問題なんです。
僕の友達あんま頭良くなくてそもそも取り組んでないので、聞く人もいなくて。
提出しないと回答もらえないんで何か書いて出さないといけないんですが
どうしても答えが出なくて困ってるんです。

わかる方がいらっしゃいましたら、どうか教えてください。

赤本を買うか立ち読みすればいいかも。(^_^;

はっきり「学校の課題(しかも提出前)」と書かれたら
答える訳にはいかないですよ。成績に関与してくるのかどうかは判りませんけど
仮に成績には全く関与しないものだとしても、それを証明する手段は無い訳ですから。
それに、こういう質問する時には、最低でも
「自分で解る部分」、「"解らないけどこう考える"案」を出して質問しないと。
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メチャ遅れ馳せながらtdoiさんご指摘のことが判りました。
高校数学から遠ざかること○○年、こんなこともぱっと見で
判断できなくなってて自分のダメさ加減に情けなくなります…orz。
本来の問題も、恐らくtdoiさんのご指摘の通り、
点AのX座標がaとは別の実数なんでしょう。
但し、「(点Aでは)連続していない」→(正)「連続してる」、
「連続ではない＝接線が存在しない」→(正)「連続でなくても接線がある場合もある」
ではないかと思います。点Aで接線が存在しないことの正式な説明は
tdoiさんが書かれていらっしゃる通り、「点Aに対し、x座標の大きい側・
小さい側双方から(曲線C上にある)点A1、A2が近付いていく時に
それぞれの点における接線I1、I2の傾きは別の極限値を持つ」からでしたね。
思い出すのに時間がかかりました…。

御指摘の通りですね。

「点Ａでは、微分不可能だが、連続」ですね。
「微分不可能であるから、接線が存在しないということはない」ですね。

この辺の言葉の定義がもう記憶の彼方でした・・・。

で、接線がないことは、どちらから近づけるかによって傾きが変わるから不定という形で書かないといけないんですね。
ほぼ、微分可能の定義と同じではありますが。

ううっ、やっぱり"数学勘"の様なものが衰えてます…orz。

＞「連続ではない＝接線が存在しない」→(正)「連続でなくても接線がある場合もある」

って書きましたけど、連続でなければ接線がある訳が無いのであって、正しくは

＞「微分不可能＝接線が存在しない」→(正)「微分不可能でも接線がある場合もある」

ですね。例えばf(x)=x^{1/(2n+1)} [n: 自然数]等が該当するんじゃないでしょうか。
これらの関数は、x=0で連続であり、かつ、左側微分係数と右側微分係数が等しいけども
導関数の分母にxが来るためx=0では微分不可能。
だけど、x=0における接線はあって、接線の式はx=0(つまりy軸)。