以下のような「index.html」というファイルで、

※画面遷移せず、エラーも出ない。とにかくボタンを押しても何も起こらない。

というのが本当なら（例えば、実際には submit による通信が発生して、「接続中」の状況が続いているんだけど、「画面、変わらないなぁ」と思って、エンドユーザが中止ボタンを押したために、結果としてエラーも出なければ、画面遷移も起こらない、というケースではない）、まず、

1. 特定の PC で常に発生するのか？
2. 特定の PC で時々発生するのか？
3. クライアントを問わず、時々発生するのか？

といった事をまず確認しましょう。それによって、想定される事が全く違います。

例えば、1. の場合、特定の PC で発生するのであれば、障害が発生している PC で使っているブラウザが共通していないか、といった事を考えます。もし、特定のブラウザ、バージョンであれば、そのブラウザ、バージョン固有の問題、という事になります。

多少気になったのは、input タグの終わりが「/>」となっている点です。「/>」で終わるという事は、index.html が XHTML 形式としてブラウザに認識されていないと、正しい挙動にならない可能性があります。もし、そういった状態が発生しているのであれば、まず、ファイルの先頭に正しい XML 宣言や　DOCTYPE の指定があるのか、といった事を確認する必要があります。
XHTML DTDの宣言

また、極端に古いブラウザであれば、そもそも XHTML 形式をサポートしていない、という事もあります。さすがに今時のブラウザで XHTML を解釈できないブラウザは無いので、もしそんな古いブラウザを使っているのであれば、正直、「サポート外」が正しい対応だと思います。

そのほかにも、何らかのセキュリティ対策で、POST メソッドが動かないようになっている、とか、実はよーく見ると、開始タグと終了タグばきちんとペアになっていなくて、たまたま、ブラウザが気を利かしてうまくいっているだけだった、といった事も考えられます。

2. や 3. のように「時々」だと、PC 側の何らかの問題、例えば、得体の知れないマルウェアに感染している、とか、ウィルス対策ソフトの類の誤動作、といった事も考えられます。

といった感じになりますが、まずは、障害の発生状況を正確に把握する事が大切です。