アラーム時計で３つ以上の時間を常に設定できる、小型で安いのを探しています。

3つ以上のアラームの設定が出来ると言うことで間違いないでしょうか？

16チャンネル設定可能な商品があります。

• SQ427S
  http://www.seiko-clock.co.jp/product-master/sq427s/
• 取扱説明書
  http://www.seiko-clock.co.jp/support/manual/search/?s=SQ427

Amazonより楽天の↓のお店の方が安いです。

＼新生活応援！期間限定SALE特価！／送料無料※北海道・沖縄県除くSQ427S 掛置兼用時計 電波時... 価格：5,770円（税込、送料込）

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もし複数購入でもいいのなら、ダブルアラームで900円のこれを2つ購入することをお勧めします。

Androidスマホを使用しているのならば下のアプリがおすすめです。
複数の時刻を同時に設定でき、曲を変えたり二度寝防止の設定など数多くあります。
もちろんその時刻までバックグラウンドで動作しますし、スヌーズにしてまた起こさせるようにするのも可能です。
目覚まし時計 (Alarm) Xtreme Free　（ダウンロード↓）
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.alarmclock.xtreme.free&hl=ja

GREENWICH(グリニッジ) プログラム チャイム 電波 掛け時計 MJU269WH

• 出版社/メーカー: maruman
• メディア: ホーム&キッチン
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小型ではないですがこちらはどうでしょうか。

携帯があれば携帯の目覚まし機能で十分だと思います。