ウォークマンFシリーズってwi-fiがない所でツイッターとかってできませんよね？

ウォークマン Fシリーズは携帯電話とは違って、圏外でなければどこでも繋がる携帯電話会社の電波が使用できないからです。
ウォークマン Fシリーズは携帯電話ではないので、インターネットに繋ぐ時はWi-Fiしかできません。
Wi-FiはWi-Fiがある場所しか繋がないので、場所が限られます。

従って、Wi-Fiがなければインターネットはできません。

＞ 何故wi-fiだけ対応
wi-fiだけ対応で困らない人が使う商品だからです。
モバイルWi-Fiルータを組み合わせれば、利用可能エリアを広げることも出来ます。

残念ながら不可能です。しかし、au Wi-Fi（体験版）接続ツールを使うことで、180日限定でau Wi-Fi SPOTを使うことが出来ます。
au Wi-Fi (体験版)接続ツール | ポータブルオーディオプレーヤー WALKMAN “ウォークマン” | ソニー
外出先では、これを使ってやることも出来ますね。
それか、Wi-Fiルーターを使うという方法もあります。