mockitoとJUnitを使ってテストを行っています。

①の書き方でも問題ありません。
ExceptionThrowMethodのメソッド引数の定義に問題がありそうです。
オーバーロードされたメソッドがあるとか。

②の書き方は許可されていないようです。

③のように引数をanyとするには全てをanyにしないと正しい判断ができないのでしょう。
なお、 (String) any()とキャストするよりは、下記コードのように any(String.class) と型を指定する方が綺麗かな？

package jp.classmethod.mockito.examples;

import static org.mockito.Matchers.any;
import static org.mockito.Mockito.doNothing;

import org.junit.Test;
import org.mockito.Mockito;

public class DoNothing {

    @Test
    public void doNothingの利用例() throws Exception {
        TestTarget obj = new TestTarget();
        TestTarget spy = Mockito.spy(obj);
        doNothing().when(spy).throwException(any(String.class), any(String[].class));
//        doNothing().when(spy).throwException(any(String.class), any(String[].class));
        // Testing
        spy.throwException("hello", new String[] {"Java", "World"});
    }
    
    public static class TestTarget {
        public void throwException(String param, String[] params) {
            throw new RuntimeException();
        }
    }
}