id:tazikisai-mukou
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学習・教育

「【暇な中学生】へ【数学】をプレゼント（新高１以下対象）その２

今度は【球】より、もう少し、イメージし易いと思います。
問題として、４次元立方体の各要素数を考えてください。
線には点が、面には線が、立体には面が無限にある・・・なんて言わないで下さい、あくまで境界［点、線、面・・・］を考えてください。
３次元立方体（普通の立方体）の延長の考えで、縦・横・奥行き・第４の方向が垂直に各辺があり、各辺の長さが１の４次元体です。
次元↓　要素→　　a（点）　　　b（線）　　　　c（面）　　　　d（立体）　　　　e（４次元体）
０次元（点）　　　a0=１　　　　　
１次元（直線）　　a1=２　　 b1=１
２次元（正方形）　a2=４　　 b2= ４ 　c2=１
３次元（立方体）　a3=８　　 b3=１２　　　c3=６　　　 d3=１
これが【問題】です↓↓
４次元（４次元体）a4=？　 b4=？？　 c4=？？？　 d4=？？？？　　e4=１
a4,b4,c4,d4を答えて下さい。
約束ですから、延長しました。あと一週間考えてください。

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  • 終了：2014/04/10 00:03:00
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ベストアンサー

id:bakanahito No.1

回答回数5ベストアンサー獲得回数2

ポイント100pt

表を書いて思いついただけだからなんでそうなるのかの説明は無理っす。

1,
2, 1
4, 4, 1
8,12, 6, 1

aは倍々になってるからan＝2^nと仮定するとa4は16かな...
あとはa1の右下(b2)はa1の2倍の4、
a2の右下(b3)はa2の3倍の12、
a3の右下(b4)をa3の4倍だとしたら32だろうか。

a2の右下は3倍、b2の右下は3/2倍になってるから、
c2の右下を1倍では無く3/3倍と見なすと法則が浮かんできた気がする。
a3の右下が4倍だから、b3の右下(c4)は4/2倍＝2倍で24、c3の右下(d4)は4/3倍で8。
出す必要もないけどd3の右下(e4)は4/4倍＝1倍で1。

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id:tazikisai-mukou

きみの解き方（段階を踏んで徐々に解く）は、もう一つの「4次元球」の問題の方に合ってると思いますので、是非、そちらにも解答下さい。正しいかどうかは気にしないで下さい。

2014/04/04 09:43:08
id:tazikisai-mukou

どうも難しすぎたようでした（最終的な解答は簡単なのですが、そこへ至るイメージが出来なかったようですね）

2014/04/10 00:02:16

コメント（3件)

  • id:tazikisai-mukou
    多食斎友好＝世田介 2014/04/09 23:13:32
    解説【正則体】　（単位距離を１とする）
    次元↓　
    ０次元（点）＝　　　１点　
    　＝＞１点から１離れた所に点を取り、２点間を繋ぐ直線を作る
    １次元（直線）＝　　２つの端点　と　長さ１の１本の直線
    　＝＞１直線から垂直に１離れた所に同一の直線を作り、２線間を繋ぐ平面（正方形）を作る＝＞
    ２次元（正方形）＝　４つの角　と　４本の直線（辺）　と　１つの正方形
    　＝＞１つの正方形から垂直に１離れた所に同一の正方形作り、２面間を埋める立体（立方体）を作る＝＞
    ３次元（立方体）　８つの角　と　１２本の直線（稜）　と　６つの面（正方形）と　1つの立方　
    　＝＞１つの立方体から垂直に１離れた所に同一の立方体作り、２立方体間を埋める超立体を作る＝＞　
    ４次元（超立方体）１６個の端点　と　３２本の直線　と　２４の面（正方形）　と　８つの立方体　と　１つの超立方体

    次元↓　点　　　　　　直線　　　　　　　　正方形　　　　　　立方体　　　　超立方体
    　0　　１　
    　１　１ｘ２＝２　　１
    　２　２ｘ２＝４　　２＋１ｘ２＝４　　　１
    　３　４ｘ２＝８　　４＋４ｘ２＝１２　　４＋１ｘ２＝６　　　１
    　４　８ｘ２＝１６　８＋１２ｘ２＝３２　１２＋６ｘ２＝２４　６＋１ｘ２＝８　１
    となります。
  • id:tazikisai-mukou
    多食斎友好＝世田介 2014/04/09 23:56:21
    解説【正単体】　（単位距離を１とする）
    次元↓　
    ０次元（点）＝　　　１点　
    　＝＞１点から１離れた所に点を取り、２点間を繋ぐ直線を作る
    １次元（直線）＝　　２つの端点　と　長さ１の１本の直線
    　＝＞１直線の２端点から１離れた所に１点を取り直線と１点を繋ぐ平面（正三角形）を作る＝＞
    ２次元（正三角形）＝　３つの角　と　3本の直線（辺）　と　１つの正三角形
    　＝＞１つの正三角形の３点から１離れた所に１点を取り、３角形と点をつなぎ、４面体の空間を埋める立体（４面体）を作る＝＞
    ３次元（４面体）　４つの角　と　６本の直線（稜）　と　４つの面（三角形）と　1つの４面体　
    　＝＞１つの４面体の４点から１離れた所に１点を取り、４面体と点を繋ぎ、内部を埋める超４面体を作る＝＞　
    ４次元（超４面体）5個の端点　と　10本の直線　と　10の面（正三角形）　と　5つの４面体　と　１つの超立方体

    次元↓　点　　　　　　直線　　　　　正三角形　　　　正４面体　　　超正４面体
    　0　　１　
    　１　１＋１＝２　　１
    　２　２＋１＝３　　２＋１＝３　　１
    　３　３＋１＝４　　３＋３＝６　　３＋１＝４　　　１
    　４　４＋１＝５　　４＋６＝１０　６＊４＝１０　　４＋１＝５　　１
    となります。
  • id:tazikisai-mukou
    多食斎友好＝世田介 2014/04/10 09:33:35
    答え【４次元球】　（ｘはエックスでは無く掛け算記号です）
    Ｓ（境界の大きさ）：２ｘパイＸパイｘｒｘｒｘｒ＝2(π^2)(r^3)
    Ｖ（内部の大きさ）：（１／２）ｘパイｘパイｘｒｘｒｘｒｘｒ＝(1/2)(π^2)(r^4)
    です。

    求め方、論理的ではないかもしれませんが、
    　　　Ｓ1＝２；Ｓ2＝２πｒ；Ｓ3＝Ｓ１ｘ（2/1）πｒ^2=4πr^2；
    Ｓ４＝Ｓ２ｘ（2/2）πｒ＾2=2(π^2)(r^3)

    Ｖ0＝１；Ｖ1＝２ｒ；Ｖ2＝Ｖ0ｘ（2/2）πｒ＾2=πｒ＾2；
    Ｖ3＝Ｖ1ｘ（2/3）πｒ＾2=(4/3)πｒ＾3；
    Ｖ4＝Ｖ２ｘ（2/4）ｘπｒ^2=(1/2)(π^2)(r^4)
    になります。
    奇数次元、偶数次元同士に関連が有ることに気付いたらその先の次元も分かるでしょう。
    因みに、境界の大きさ（表面積）と内部の大きさ（体積）の関係は次元をＮとした時（ｒ/Ｎ)になります。---Ｎ次元体の重心の位置から求まります。

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