iphone5cでネット上に上がっている画像の保存が出来ません…どうすればできますか?

設定 ＞ プライバシー ＞ 写真
を開いて、画像を保存しようとしているアプリからカメラロールへのアクセスが許可されているかどうか確認してみて下さい。
アクセスが許可されていないと「プライバシー設定を確認して下さい」という内容の警告が出るアプリもありますが、何も言ってこないけれど保存できてないもの、「保存されました」と出るけれど保存されてないもの、と色々なアプリがあります。
下記はSkitch3というアプリの場合の例です。

Skitch3 for iOS7 画像が保存できない時は、プライバシー設定を確認 | さぺログ

追記です：
確かInstagramの場合は最初から保存できなかったはず。
Instagramの写真を保存したい場合は、それ用のアプリを使うのが簡単だと思います。
『Instake』写真好き必見！Instagramにアップされた画像を簡単保存できるぞ | iPhoneひとすじ！ かみあぷ速報