ゲームの起動画面で「PRESS START」や「何かボタンを押して下さい」と案内するのはなんででしょうか？

ゲーム屋でも何でもない者の想像にすぎませんが「慣習」じゃないかと思います。
アーケードゲームはタイトル画面を表示して「INSERT COIN」「コインを入れて下さい」と表示したままコイン投入イベントを待つ仕様になっています。アーケードゲームを家庭用ゲームに移植する際には、コのメッセージを「PRESS START」「何かボタンを押して下さい」に変えて、コイン投入イベントをボタン押下イベントに変えれば済むので、タイトル画面でスタートボタンを押す慣習が生まれたのではないでしょうか。
家庭用ゲームから開発が始まる場合は、その必要は無いはずです。ということは単に慣習なのではないでしょうか？

ファミコン以来の多くのゲーム機にはスタートボタンがある。初期は実際にゲームスタートに使われたが、本来ゲーム操作用の各種ボタンにスタートの操作も統合された結果、スタートには使われなくなり、その後は本来副次的な機能だった一時停止・再開やメニュー呼び出しに使われている。
スタートボタン - Wikipedia

過去に制作したゲームでは、あの画面でSTARTボタン等を押したときに、コントローラの初期化(スティックの中央位置の設定することや、どれが1コントローラなのか特定等、場合により異なる)を行っていました。

スタートボタンではなく、何らかのボタンで最初にメニュー動かした時に、初期化すれば良いのではないかとも思ってしまいますが、


中央位置がわからない状態ではスティックはまともに使えないので、初期化前にはスティック上下で"はじめから"
"つづきから"を選べません。

"スタートボタンを押してください"が使えないとなったら、"メニュー操作前には必ず何らかのボタンを一度押してからスティックを使ってください。そうでなければ操作は正しくできません。"なんて分かりにくい説明を書かなければならず、それらを読まないプレイヤーから問い合わせが相次ぐかもしれません。

スティックでなく、十字ボタンなら大丈夫なこともありますがメニュー操作にスティックと十字両方使えた方が便利ですし、3Dゲーム等本編で十字ボタンを移動に使わずスティックで移動する場合に、タイトル画面のメニューだけ十字ボタンで移動というのは不自然です。




最近市販されてるもので何かやってるんだなと分かりやすいのは"マリオカート
Wii"で"スタートボタン(Wiiなのでボタン名は違います)を押したコントローラがメニュー操作権を得る"というものです。



もちろん?、ゲームのなかには意味もなく表示してるのもありますが… (推測でしかないので、もしかしたらそれらにも理由あるかもしれません。&初期化の理由はスティックだけでありません。)

起動してから何かキーが押されるまでの時間を乱数の種にしていました。
最近は、初期状態がランダムな敵配置のゲーム見かけなくなりましたね。

ボタンを押さずに少しの時間おいておくと始まるプロモーションムービーみたいなのが結構良かったりするので、本でいうところの装丁のようなものだと思って楽しんでいます。
電源入れたらいきなりセーブデータの選択画面だと、味気ない気がします。

トイレにいってくるため

ゲームセンターでは「insert coin(s)」と表示してタイトルとデモを表示してる。コイン投入のタイミングでメニュー(1PLEY/2PLEYなど)を表示。
その雰囲気のままコンシューマ機に移植するなら、「please any key」と表示して、スタートボタンでメニュー表示。それが慣例化したんじゃないかと。
全部推測ですけど。

昔の、GUIが登場するまえのプログラムでは、ユーザに操作を促す時に、画面上に「Input Name?」とか「Hit any key!」というメッセージを表示していました。
その流れを組んでいるかもしれません。

一種の伝統みたいなもんなんですかね？
例えばアルカノイド。初代はアーケードで、その移植版がファミコンで発売されました。
それからおよそ20年、ニンテンドーDSでも発売されましたが相変わらずPRESS STARTの画面から始まります。他のタイトーのゲームもそんな感じですかね？
例えば頭文字D。現在のタイプ（アーケードステージ、スペシャルステージ等）の初代がやはりアーケードで、その初代ではこのような映像が流れていました。
http://www.nicovideo.jp/watch/sm16824484
この筺体の設定がフリープレイの為、最初からPRESS START BUTTONとなっていますが、本来はINSERT COINとなっています。
これもPS2、PSP、PS3に歴代3作品が移植されていますが、どれもPRESS START BUTTONが表示される画面から始まります。こちらもどのSEGAゲームも殆どそうなっているようです。
逆に始まらないのは何か？
これにはグランツーリスモが当てはまります。
よく考えてみると、グランツーリスモはどれもスタートボタンを押して始まるような画面が表示されないで始まっています。
このゲームを作っている会社はポリフォニー・デジタルで、過去にアーケードゲームを出したことはありません。つまりそのような伝統がない訳です。