外でネットができるようにモバイルルーターをレンタルしようと思います。レンタルを返却する際に、ネットの接続ログ、サイトのパスワード、個人情報などが漏れてしまわないでしょうか？ルーターにはそういうものはハードディスクのように残ってしまわないでしょうか？

当然、プロバイダ側にもログが残るので、悪いことには使用しない方がいいでしょう！
http://q.hatena.ne.jp/answer

プロバイダー側に残る情報は犯罪などに使わなければ問題ないです。
ルーターのログ情報はパケット伝送状況などの接続記録だけであってパスワードなどの個人情報まで漏洩しないと思います。
心配ならモバイルルーターによってはログを削除できるものもありますので確認してみてはどうでしょうか。（23ページ参照）
http://www.logitec.co.jp/MANUAL/lan-pwg_apr_v01_um.pdf

漏れるとしてもプロバイダーだけだろう。

プロバイダーには通信事業者として法律で通信の秘密を守る必要があるので，漏らされたら凄い賠償金が貰えるかもね。ということで，大丈夫です。

http://q.hatena.ne.jp/answer