Dropboxの使い方で再度質問です。

MacのDropboxアプリケーションから使用可能な容量を見るには、メニューバーのDropboxアイコンをクリックし、表示されたウィンドウのいちばん右下にある歯車アイコンをさらにクリックすると一番上に表示されています。

右上の地球アイコンをクリックしてブラウザから表示させてアカウントの使用可能な容量を確認することもできます。
Dropbox - Dropbox アカウントの残りの使用容量を確認するには

「丸に斜線マーク」ですが、下の画像と同じものならMacのFinderの機能としてあるもので、移動できない場所にファイルを移動させようとするとカーソルがこの形になります。

OS X Mavericks: OS X のポインタ

Dropboxフォルダにファイルを入れようとしたら出た、ということですが普通なら出ないと思うので、どういう状況になっているのかはちょっとよく分からないです。
ひょっとしたらDropboxをインストールしたときのディスクイメージがまだ残っていて、誤ってそちらの方に入れようとしたのかも？と思いましたが、もしそうなら正常な反応です。

動画は普通のファイルと同様にドロップボックスにいれられます。
https://www.dropbox.com/ja/help/6

　
留意点１．動画ファイルはむやみに容量が大きいものもあるのでもういちど要確認です。私は１ファイルで１０ギガを超える動画ファイルを持っています。（デジカメで数時間撮ったものです）

留意点２．キーボードでナニカのボタンがおしっぱなしになっているままにマウスでドラッグすると、
ドラッグが「ファイルの移動」とは違う意味になることがあります。キーボードやペンタブレットなど周辺機器のボタンがなにかにぶつかったりして押さえられていませんか。（ファイル転送の途中で不可になったので、そのとき物を動かしたなど）
　
留意点３．質問によれば前半は転送がちゃんとできているので、まさかとはおもいますが一応。
「ファインダー」以外の画面からドラッグしようとしていませんか。
たとえば、メールクライアントソフトやワープロソフトの保存ダイアログの保存先指定ウィンドウなどからいきなりドラッグしようとしても無理です。一度、デスクトップやマイドキュメントなどに保存してからファインダーとしての機能をもちいてドラッグしたほうがよいでしょう。

設定がおかしくなっているかもしれないので、dropboxクライアントを再インストールしてみればよいかもしれません。

一旦ログアウトしてみて試して、それでもダメなら一度アプリをアンインストールして再度インストール後に試してみてください。

通常ならできる操作ですので、不具合が発生している可能性が高いですね。