派遣会社とは先に契約を締結した方が、スタッフさんの紹介をスムーズにしてもらえるのでしょうか？

派遣の場合には先に派遣会社と御社が結ぶ派遣契約がございましてその後に派遣者と派遣会社が結ぶ雇用契約が締結される順序になってございます。
どのような場合にも先に派遣契約が締結されるのでございます。
どのようなお話を派遣会社の営業とされたのかは存じかねますが派遣契約を結ぶ前に派遣予定者の情報を見られるということは派遣契約→雇用契約→職業紹介の期間が短いだけにすぎないのでございます。

そこで、派遣会社に聞くと、まずは派遣会社と契約書を締結すると、優先的にスタッフさんを紹介してもらいやすくなると聞きました。

派遣契約を結ぶということは派遣会社は派遣社員を派遣する義務を負うということでございます。
でございますから派遣契約を結んでおらないところには派遣する義務は生じないわけでそれを「優先的に紹介」と表現するのは少々ニュアンスが違うと存じます。

派遣会社の言い分としては、
１．いざ候補者があがってきたときに素早く派遣開始できる
２．まだ派遣する／しないが決まっていないから、フラットな状態であるため、契約内容を不利にされるリスクが減る
のメリットがあると言ってきています。

１につきましては先に書かせていただいた通り派遣契約を結んだ派遣会社の義務でございます。
その義務の対価を受け取る権利が派遣会社に生じます。

２につきましては言い分がおかしゅうございます。
先に書かせていただいた通り派遣契約は派遣者が決まる前に締結される順序となっております。
そのような申し方をする派遣会社の営業がおるのでございましたら私ならその会社との契約は見合わせます。
基本的なことを知らないのか知っておりながら当然のことをメリットと営業トークをしているのかは存じ上げませんがどちらにいたしましても不誠実であることは変わりございません。
そういった方が申される「当社に登録している方々は。。。」というような内容は私は信ずる気にはなれません。