VBAによるテキストファイルの処理についての質問です。

こんな感じになると思います。

Sub extract_textdata()

    Open "D:\tmp\input.txt" For Input As #1
        Line Input #1, buf
    Close #1
    
    buf2 = Split(buf, vbLf)
    found = False

    Dim data() As String
    n = 0
    For Each Line In buf2
        If Line = "==== DATA2 ====" Then    ' 終了判定
            Exit For
        End If
        If found Then
            ReDim Preserve data(n)
            data(n) = Line
            n = n + 1
        End If
        If Line = "==== DATA =====" Then    ' 開始判定
            found = True
        End If
    Next

    Open "D:\tmp\output.txt" For Output As #1
    For Each Line In data
        Print #1, Line
    Next
    Close #1

End Sub

入力のデータを一気に読み込んでから Split 関数で分割しているので、元データが大きいと動かない可能性はあります。
とりあえず、1、2 万行くらいのデータであれば処理できるみたいですけれど。

Sub extract_textdata()

    Const targetFolder = "D:\tmp"               ' 対象のテキストファイル群があるフォルダ名
    Const outputFile = "D:\output\output.txt"   ' 出力ファイル名
    
    Set fs = CreateObject("Scripting.FileSystemObject")
    Set folder = fs.GetFolder(targetFolder)

    Open outputFile For Output As #2

    For Each f In folder.Files
        fname = folder.Path & "\" & f.Name
        Open fname For Input As #1
            Line Input #1, buf
        Close #1
        
        buf2 = Split(buf, vbLf)
        found = False

        Dim data() As String
        n = 0
        For Each Line In buf2
            If Line = "==== DATA2 ====" Then
                Exit For
            End If
            If found Then
                ReDim Preserve data(n)
                data(n) = Line
                n = n + 1
            End If
            If Line = "==== DATA =====" Then
                found = True
            End If
        Next

        For Each Line In data
            Print #2, Line
        Next

    Next

    Close #2

    Set fs = Nothing

End Sub

後、追加の質問で恐縮ですが、指定したキーワードから上下で何行まで
とかを指定することは可能でしょうか？
もしくは、開始キーワードからの行数指定での抽出方法があれば
ご教示下さい。

「上下」ってのは、ちょっと面倒なのですが、開始キーワードから行数指定であれば簡単です。
内側のループの脱出条件を、以下のように書き換えます。

        For Each Line In buf2
'           If Line = "==== DATA2 ====" Then
'               Exit For
'           End If
            If n = 2 Then       ' 開始キーワードから 2行だけ出力する
                Exit For
            End If