日本語の質問です

「私達の」⇒「まわりには」　
「まわりには」⇒「住んでいます」
「いろいろな」⇒「動物が」
「動物が」⇒「住んでいます」

この文の主語は「動物が」で、述語が「住んでいる」になります。
「私達の」は「まわりには」を修飾しています。
「いろいろな」は「動物が」を修飾しています。
「私達の」「まわりには」というのは、修飾・被修飾の関係なのでセットにして考えて「私達のまわりには」というのにして、形容詞は動詞を修飾するので「私達のまわりには」は「住んでいる」を修飾していることになります。

上の2つの回答と同じですが

「私達の」　　 →　まわりには を修飾
「まわりには」 →　住んでいる を修飾

日本語の文の構成では主語、述語、修飾語、非修飾語などは入れ替えることが可能です。そのため、すぐ後ろの語にかかる修飾語と、何個か後の語にかかる修飾語とがあります。

基本的には、主語-述語、修飾語-被修飾語は近くの置くほうが分かりやすくなります。例文は、主語と述語を近づける語順で書かれています。修飾-被修飾の関係を優先するのであれば、以下のようになります。

いろいろな　動物が 私達の　まわりには　住んでいます

このように日本語の語順は変えることができます。その配置を分かりやすく並べるのが文章術です。

「日本語の文章術」まとめ　その2 | 凹レンズ　―まとまりのないブログ―
「日本語の文章術」まとめ　その5 | 凹レンズ　―まとまりのないブログ―

質問者がたずねていらっしゃるのは文の成分のうちの補語です。
　
主語は「動物」であり、形容詞「いろいろな」で修飾されています。
述語が「住んでいます」
　
これだけだと「いろいろな動物が住んでいます。」
　
あたりまえすぎてなにがいいたいのかがわかりませんので補足が必要です。
これを補語、必須補語といいます。
　
ただ住むのではなく「私たちのまわりに住んで」いるということを言いたいのです。
この文章では補語は動詞（述語）をおぎないます。
　
ただし「私たちの身のまわりの動物たちは、いろいろな形のすみかをつくっています」
の文章だと、「私たちの身の回りの」が「動物」（名詞、主語）にかかります。
　
つまり、補語でも「には」「の」などといった助詞の変化で、主語と述語のどちらにかかるかを見分ける決まりです。

(私達のまわりには)　(いろいろな　動物が)　(住んでいます)
(Many kinds of animal species) /inhabit /（in our surroundings.）

①私達の（Our）→まわり(surroundings)に「つながり」ます。語順は
　「私達の→まわり」です。
②「まわりには」というのは場所を表す副詞句（adverbial phrase of place)ですので、文章の残りの部分すべてに「つながり」ます。語順は、入れ替わる場合がああります。下の文章はどちらも同等です。
・(私達のまわりには)(いろいろな動物が)(住んでいます)
・(いろいろな動物が)(私達のまわりには)(住んでいます)

いろいろな(many kinds of)動物(animal species)が/
住んでいます(inhabit)/
私たちの(our)まわり(surroundings)には(in)

「私達のまわり」で一つのつながりです。
「には、・・・」は、他と比べてどうかということを述べたいときに使います。
この場合は、「いろいろな動物が住んでいます」の「いろいろな」を強調しています。
住んでいる動物の種類の多さを、強調しているんですね。

【私達のは、一つ後ろの言葉にかかるのに、】
「の」は属格で、直後の言葉にかかります。　
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%9E%E6%A0%BC

【なぜ、まわりには は、二つ後ろの言葉にかかるのですか？】
今回の文は、SOV型のO強調系となるOSV型に該当します。
この場合、O(目的語)はV(動詞)にかかります。

▽よくある日本語の語順
日本語語順：S(主語)+O(目的語)+V(述語)
http://ja.wikipedia.org/wiki/SOV%E5%9E%8B

▽今回の文の語順
日本語語順：O(目的語)+S(主語)+V(述語)
http://ja.wikipedia.org/wiki/OSV%E5%9E%8B
＞日本語では SOV の語順に次いで一般的な語順であり、目的語を強調する時に用いる。
→今回の文は目的語を強調するために並びが替わっています。元の日本語体型としては、SOVとなります。

O＝私達の周りに(は)
S＝いろいろな動物が
V＝住んでいます
↓
S＝いろいろな動物が
O＝私達の周りに(は)
V＝住んでいます

上記で伝わりますでしょうか。

私達の　まわりには　いろいろな　動物が　住んでいます

「私達の」→「まわりには」　
「まわりには」→「住んでいます」

>私達のは、一つ後ろの言葉にかかるのに、
>なぜ、まわりには は、二つ後ろの言葉にかかるのですか？

どこにかかるか、というのは一つ後ろとか二つ後ろとか決められているわけではありません。
その理由のひとつは、それが、ことばの順番が比較的自由という日本語の特徴だからです。
日本語には「助詞」があるおかげで、文章を並び替えても意味が通じます。
　私達の　まわりには　いろいろな　動物が　住んでいます
　いろいろな　動物が　私達の　まわりには　住んでいます
でも意味は通じますね。
ただ、文のニュアンスは若干変わります。
最初の文では、「私たちのまわりに」動物がいることが、後の文では「いろいろな動物がいることが」より強く伝えたい内容になります。

英語の場合は、単語の置かれる場所も、文の意味を決める大事な要素なので、日本語ほど自由に単語を入れ替えることはできません。※全然できないわけではないです。副詞とかは比較的自由ですよ。