1434078931 図のように、鋭角三角形ABCの内部の点をPとし、ACを一辺とする正三角形ACDと、CPを一辺とする正三角形CPP'をつくる。このとき、次の問いに応えなさい。

⑴PA=4㎝、PB=3㎝、PC=2㎝であるとき、折れ線BPP'Dの長さを求めよ。
⑵△ABCの内部に点Qをとって、QA+QB+QCの長さが最も短くなるとき、∠BQC,∠AQCの大きさをそれぞれ求めよ。

⑵について、基本的なことなんですが、「QA+QB+QCの長さが最短になるのは4点B,Q,Q',Dが一直線に並ぶ場合」になぜ最短距離になるんでしょうか?

ご教示よろしくお願いします<(_ _)>

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回答1件)

id:a-kuma3 No.1

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△APC と △DP'C が合同だ、っていうのを (1) も (2) も使うんでしょ。
(2) の場合は、(1) の P を Q に置き換えて考えて、
QA = DQ'   :△APC と △DP'C が合同だから
QC = QQ'   :△CQQ' が正三角形になるように Q' を取ったから

で、
 QA + QB + QC
= DQ' + QB + QQ'  :QA = DQ' 、QC = QQ' を代入
= BQ + QQ' + Q'D  :並べ替え

これって、折れ線 BQQ'D の長さ。

B と D の位置は変わらないから、この折れ線が一番短くなるときは、BD の最短距離ということで、折れ線 BQQ'D が直線になるときが QA + QB + QC が一番短くなるとき。

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