理科では、電磁波は電界が発生したのをきっかけに磁界が発生して・・・を繰り返すものだと教えられました。

　私もよく分かりませんが、光子は電磁気力のゲージ粒子のはずです。
　↓この辺が分かりやすいんじゃないかと。
素粒子とは何か - Active Galactic : 11次元と自然科学と拷問的日常

このことを説明するためには、電磁気学、量子力学、場の量子論の話が必要となるかと思われます。

☆電磁場
電磁波は、古典的には、「電磁波は電場と磁場（電磁場）の振動現象である」とされます。これは、マクスウェルによる電磁気学から得られた結論であり、光の波動性を支持するものでした。
（電界・磁界は工学で多用される用語ですが、素粒子物理学をはじめとする理学の分野では、電場・磁場と呼ぶことが多いので、電場・磁場としました）

電磁場に代表される「場」とは、ある時刻で、空間の各点において値が一意に定められる物理量のことを言います。
電場の場合は、電荷qの粒子に働く静電気力Fは、電場Eを用いて
F=qE
と表されます。Eはある点における電場であり、空間の各点で電場が定義されることによって、各点における静電気力を考えることができるようになります。
場は、質点などとは違って、空間的に連続な広がりを持ったイメージで理解されることが多いです。

☆量子力学
初期量子論では、光の粒子性も唱えられましたが、これは、振動数ν（ニュー）の光のエネルギーEは、
E=nhν（nは整数、hはプランク定数）
で表現できるということからきています。この場合は、光は、エネルギーhνを持つ小さな塊（光量子、光子）の集合とみなすことができ、この光量子が光の粒子であるとされました（光量子仮説）。

その後の量子論では、粒子の時間発展は、粒子の存在確率を表現する波動関数というものを用いて記述されるようになり（シュレーディンガー方程式）、量子力学が発展しました。
波動関数はその名の通り、波動方程式を満たし、これにより、粒子は波としての描像も持つのだと解釈されるようになりました。

☆場の量子論
さらに量子論が発展すると、波動関数を電磁場と同じように場とみなす、「場の量子論」が登場しました。
この場の量子論では、空間のすべての点に「粒子場」という場の値を定義し、その粒子場の励起状態（場がエネルギーを受けて振動している状態）が粒子とみなされます。

場の量子論において、粒子場から粒子を構成する手続きを「場の量子化」といいます。
この、場の量子化によって、量子力学の粒子・波動描像と電磁気学における電磁場が結びつき、光子は電磁場の励起状態であると理解されるようになりました。

また、場の量子論によれば、電磁場のみならず、宇宙に存在する基本的な力（電磁気力以外だと、強い力、弱い力、重力）の場は、励起によって粒子としての状態を持つと予想できます。
この力の場から生じるとされる粒子が、ゲージ粒子と呼ばれているものです。
現在では、重力のゲージ粒子である重力子以外は、実験で確認されていて、重力以外の場も量子論で説明がうまくいっています。
現在では、最後に残った重力の量子化が物理学の最重要課題となっていて、超ひも理論など、いくつかの理論が候補として挙げられています。

a｢電界が発生したのをきっかけに磁界が発生して・・・を繰り返すもの｣⇒｢電界の強度が変化し、それと対応して磁界の強度が変化しを繰り返す｣　＝　｢状況が高低、強弱と、波のように繰り返す。その状況変化の同じ周期をもつ繰り返しが、電界と磁界で観測できるものを、《電磁波》という｣と説明されたのでしょう。　
変化が繰り返し同じ周期で生じる原因を述べたり、説明したものではないと思います。

b｢光子が電界と磁界の源なんでしょうか？｣
原因と結果の説明ではないと思います。
電界や磁界も、空間の状態を電位や磁力などの視点で説明するものですし、光子も、電位や磁力、エネルギーなどの移動伝搬の視点で空間の状態(の変化)を説明するものなのだと思います。
光子という重さや形のある物体が、ポロンと存在しているという説明ではないと思います。その光子が何かに作用して別の何かを生じさせているということではないでしょう。

｢横から力が加わってきたので変形した・壊れた・移動した｣というような場合、｢力｣を物体そのもののような考え方をするのではないと思います。　このとき言っている｢力｣って何だと思いますか。

波の力も色々とありますが、ただ強さ(振幅の高低・強弱の幅)だけを問題にすると、共振する現象が理解しがたいです。　周期・周波数がもつ特徴も大事です。　電磁波だって、いわゆる光でも、おんなじようなことがいえるのだと思います。

意味不明で、理解が追いつかないときに、古典力学では、量子力学ではとか言っても、なにもわかったりすることはないのだと、思います。　もしも、少しでも理解を深めたい場合は、基礎的なことから学習していかないと、話にならないと私は思ってます。
それは、理科、物理だけのことではなく、何でも似たようなものだと思います。
中高レベルでもちゃんとわからなかったことは、途中を飛ばして、ハイレベルの言葉を振り回しても、おかしく見当違いの誤解を増やすだけだと思ってます。

単なる記述の違いです。

光を電磁場として扱かっても良いし、光子と扱っても良いです。
どちらを選択するべきかは解く問題によって変わります。
1粒子の交換を計算するなら光子で、多粒子を扱うなら場として扱う方が良いでしょう。


質問を言い換えると「光は場なのか粒子なのか？」ですね。
この質問において 古典力学、量子力学、場の理論の違いはあまり関係はありません。
どちらが正しいということはなく、扱う問題によって適切に選択するだけです。

（古典力学、量子力学、場の理論の場（波）でそれぞれちょっと異なるのですが
　この質問とは関係ないので無視します）


匿名回答１号さん
＞私もよく分かりませんが、光子は電磁気力のゲージ粒子のはずです。

電磁場は「U(1)ゲージ場」というゲージ場の一種です。なので光子はゲージ粒子の一種です。
匿名回答１号さんも質問者さんも間違っていません。