線形代数、もしくは数論に関する質問です。

10分ほどでCのコード書いて走らせたら0.1秒以内で終わりました。
入れ替えの重複を除いてX1<=X2<~X3<=X4 とすると計算量は
40^3/24 * 3^4程度です。アルゴリズムは特に難しいことはしていません。
約7000通りの解があります。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int target[5]={12,20,25,32,27};

int main(int argc, char **argv)
{
    int x1,x2,x3,x4;
    for(x1=1;x1<=40;x1++) {
    for(x2=x1;x2<=40;x2++) {
    for(x3=x2;x3<=40;x3++) {
    for(x4=x3;x4<=40;x4++) {
        int flag[5]={0,0,0,0,0};

        int a1,a2,a3,a4;
        for(a1=-1;a1<=1;a1++){
        for(a2=-1;a2<=1;a2++){
        for(a3=-1;a3<=1;a3++){
        for(a4=-1;a4<=1;a4++){

            int sum=x1*a1+x2*a2+x3*a3+x4*a4;

            int t;
            for(t=0;t<5;t++)if(sum==target[t])flag[t]=1;

        }}}}
        int sum=0;
        int t;
        for(t=0;t<5;t++)sum+=flag[t];

        if(sum==5)printf("%d %d %d %d\n",x1,x2,x3,x4);
    }}}}
}