早速ですが数学で納得がいかないところがあります。
最近空集合(Φ)を習いました。
教科書にはこの空集合について
『空集合は、どんな集合に対しても、その部分集合であると約束する。すなわち、任意の集合Aに対して、Φ⊂Aとする。』
と記されています。
それならどんな集合にもΦは含まれているはずです。
しかし、こんな問題があります。
『A＝{1,2,3,4},B＝{2,3,5}について次の集合を求めよ。
(1)A∩B』
僕はこの問題をこう答えました。
『A∩B＝{2,3,Φ}』
ところが模範解答は
『A∩B＝{2,3}』
となっていました。
他の色々な問題を解きましたが、この手の問題にはΦが含まれていませんでした。
ですが一つだけΦが含まれている問題がありました。
『集合{1,2}の部分集合を求めなさい』
模範解答は『{1} ,{2},{1,2},Φ』
僕にはこの問題のさっきの問題の違いがわかりません。
どうしてΦが含まれる問題と含まれない問題があるのか。
その違いを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.6
> 教科書にはこの空集合について
> 『空集合は、どんな集合に対しても、その部分集合であると約束する。すなわち、任意の集合Aに対して、Φ⊂Aとする。』
> と記されています。
> それならどんな集合にもΦは含まれているはずです。
この部分の理解が間違えています。
「部分集合」という言葉と、「要素として含む」という言葉の違いをちゃんと理解しましょう。
一つずつ確認していきます。
A という集合が a という要素を含むとき a ∈ A と書きます。
A = {a,b,c} ならば a ∈ A が成り立ちます。
A = {b,c,d} ならば a ∉ A です。
次に、集合 A が集合 B の部分集合であるとは次のように定義します。
『任意の a について a ∈ A ⇒ a ∈ B が成り立つとき A は B の部分集合といい、A ⊂ B と表す。』
A = {a,b} B = {a,b,c} のとき A ⊂ B が成り立ちます。
なぜなら A のどの要素を取り出しても、その要素は B の要素になっています。
A = {a,b} B = {b,c} のとき A ⊄ B となります。
なぜなら A の要素 a は B の要素として含まれていません。
冒頭にあげた、ここが間違えていると指摘した個所を記号を使って表現すると以下のようになります。
『任意の集合 A に対して、Φ ⊂ A ⇒ Φ ∈ A』
これは成り立たないので、どんな集合にもΦが含まれるという事にはならないのです。
A∩Bの定義を確認しましょう。A∩Bは以下のように定義されます。
『任意の a に関して a ∈ A∩B ⇔ a ∈ A かつ a ∈ B』
A∩Bの要素になれるのは、A と B の両方に含まれている要素のみであるという事です。
上で指摘したように Φ は A と B のどちらにも含まれていないので A∩B に含まれることはありません。
こちらは A ⊂ {1,2} となるようなすべての集合 A を求めなさいという問題です。
上の部分集合の定義により、A に含まれる要素はすべて {1,2} に含まれないといけないので、
A としては {1},{2},{1,2} の 3 つがすぐに考えられます。
また Φ は『すべての集合の部分集合になるような集合である』と定義されているのだから、当然 Φ ⊂ {1,2} が成り立ちます。
よって答えは {1},{2},{1,2},Φ の 4 つになります。
以上の説明でわかるでしょうか？
誤解の原因は『任意の集合 A に対して、Φ ⊂ A ⇒ Φ ∈ A』が成り立つと勘違いした点にあるのではないかと思います。部分集合⊂ と 要素として含む∈ の違いをちゃんと認識できれば理解できると思います。
No.1
No.2
{2,3}の中にすでに∅が含まれるからでは。
No.3
集合と要素を混同しているからですね。
空集合とは，要素を含まない集合のことです。
空「集合」という名前の通り，
要素のことではなく，集合なのです。
「集合の共通部分を求めよ」という問題の場合，
（共通部分の）要素を答えなさい
という問題です。
だから，要素を答える問題ですから
空集合は集合であって要素ではありませんので
φを答えるべきではありません。
「部分集合を求めよ」という問題の場合，
要素ではなく集合を答えろという問題ですから
集合として空集合も含むのです。
空集合φは要素ではなく集合である。
φの中には何も要素は含まれない。
このことがわかりましたでしょうか。
No.4
φ⊂A（φは［集合として］Aに含まれる）であって、φ∈A（φは［要素として］Aに属する。これを「含まれる」と呼ぶこともあるが混乱の原因）ではありません。
そもそも、φ∈Aということは高校の段階ではあり得ないことです。
（実は大学ではあり得ます。それで行くとNo. 1とNo. 3の説明もちょっとおかしいことになりますが、高校の段階では問題ありませんので、気にしないようにしましょう。）
ですから、「高校一年生」と断って質問したことは賢明です。
No.5
A∩B＝{2,3,Φ}
は間違いです
2，3は元(=集合の要素)ですが，Φは元じゃなくて集合です
{2,3,Φ}だと{元，元，集合}と書いてることになり
集合の表記法として間違っています
空集合を記号"Φ"では無く "{}" と書くと分かりやすいかも知れません
つまり A∩B＝{2,3,{}} だと元と集合がごちゃまぜに成っていて間違いで
集合{1,2}の部分集合は {1} ,{2},{1,2},{} と正しく集合を列挙できていることが判ります
いかがでしょうか？
No.6
ここでベストアンサー
> 教科書にはこの空集合について
> 『空集合は、どんな集合に対しても、その部分集合であると約束する。すなわち、任意の集合Aに対して、Φ⊂Aとする。』
> と記されています。
> それならどんな集合にもΦは含まれているはずです。
この部分の理解が間違えています。
「部分集合」という言葉と、「要素として含む」という言葉の違いをちゃんと理解しましょう。
一つずつ確認していきます。
A という集合が a という要素を含むとき a ∈ A と書きます。
A = {a,b,c} ならば a ∈ A が成り立ちます。
A = {b,c,d} ならば a ∉ A です。
次に、集合 A が集合 B の部分集合であるとは次のように定義します。
『任意の a について a ∈ A ⇒ a ∈ B が成り立つとき A は B の部分集合といい、A ⊂ B と表す。』
A = {a,b} B = {a,b,c} のとき A ⊂ B が成り立ちます。
なぜなら A のどの要素を取り出しても、その要素は B の要素になっています。
A = {a,b} B = {b,c} のとき A ⊄ B となります。
なぜなら A の要素 a は B の要素として含まれていません。
冒頭にあげた、ここが間違えていると指摘した個所を記号を使って表現すると以下のようになります。
『任意の集合 A に対して、Φ ⊂ A ⇒ Φ ∈ A』
これは成り立たないので、どんな集合にもΦが含まれるという事にはならないのです。
A∩Bの定義を確認しましょう。A∩Bは以下のように定義されます。
『任意の a に関して a ∈ A∩B ⇔ a ∈ A かつ a ∈ B』
A∩Bの要素になれるのは、A と B の両方に含まれている要素のみであるという事です。
上で指摘したように Φ は A と B のどちらにも含まれていないので A∩B に含まれることはありません。
こちらは A ⊂ {1,2} となるようなすべての集合 A を求めなさいという問題です。
上の部分集合の定義により、A に含まれる要素はすべて {1,2} に含まれないといけないので、
A としては {1},{2},{1,2} の 3 つがすぐに考えられます。
また Φ は『すべての集合の部分集合になるような集合である』と定義されているのだから、当然 Φ ⊂ {1,2} が成り立ちます。
よって答えは {1},{2},{1,2},Φ の 4 つになります。
以上の説明でわかるでしょうか？
誤解の原因は『任意の集合 A に対して、Φ ⊂ A ⇒ Φ ∈ A』が成り立つと勘違いした点にあるのではないかと思います。部分集合⊂ と 要素として含む∈ の違いをちゃんと認識できれば理解できると思います。
No.7
俺は、数学のこと分からん。断っておく。
みんなの回答をよむと、部分と、集合を取り違えている、ことが問題の様です。
が、問題文は、「集合を求めよ」と、書いてある。『A＝{1,2,3,4},B＝{2,3,5}について次の集合を求めよ。
だから、君の回答が正しいんじゃないかな？もしくは、出題者が、国語を間違えているんじゃないかな。
あと、数学の問題で、国語がおかしい物がいっぱいある。
だから、出題者がおかしい、という姿勢も持つべきと思うね。
これ読むといいかも
伝わる！ 数学的会話術のすすめ――誤解を招かない聞き方、伝え方
伝わる！ 数学的会話術のすすめ――誤解を招かない聞き方、す伝え方 (講談社＋α文庫)
ちなみに「空集合」と「空集合を要素とする集合」もやっぱり別です。(集合を要素とする集合、は4号さんの言う「大学レベル」の話にならないと出てこないのでここで持ち出すのは混乱を増やすだけだと思いますが、たとえそれを持ち込んでも、別です。)
集合Aの要素の個数を#Aとすると
#φ＝0
です。高校の範囲を超えるので質問者は気にしない方がいいのですが、
#{φ}＝1
で異なります。ついでに
#{φ, {φ, {φ}}}＝2
です。
No.8
空集合は集合であって要素ではありません。
Φ⊂A ではありますが、Φ∈A では無いのです。
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「それで行くと」はNo. 5も同じ。
2016/05/01 06:47:58