あるjavascriptを書いてあるhtmlを実行すると、firefoxでは問題なく動作するのですが、chromeだと動作しません。

('') の部分は実際も空なのです。

お、なるほど。

リクエスト先は違うドメインなのですが、試しに同一ドメインにしたところ、エラーは無くなりました。

ということは、リクエストを出す先の も自分で作っている、もしくは口出しができるということでしょうか。
http://www.*******/******.json の方を修正して、真っ当な Content-Type を設定する方が良いような気がします（今は、設定してない？）。

> 真っ当な Content-Type を設定
phpでしたら１行書けば良いのでしょうけど、静的なjsonファイルを読み込んでいるだけなので、この場合はサーバの設定になるのでしょうか？

それは、JSONP ではありません。

JSONP は、以下ような形式の応答を返して、javascript のコードとして実行することでクロスドメイン制約を乗り越えようとするものです。

my_callback_function(JSON 形式で表現されたオブジェクト);

JSON 形式のファイルの内容が応答として返って来ただけでは、callback 関数が呼ばれないので JSONP としては正しく動きません。
同じドメインにして動作するということなので、その辺りは、jQuery が吸収してくれているのでしょう。

もし、そうだとすると、サーバの設定までは出来ないですね。。。

その json ファイルを置いている場所に、ちょっとしたプログラムを書くことはできないでしょうか。

1. json ファイルを読み込む
2. パラメータから callback 関数の名前を切り出す
3. 応答ヘッダに application/javascript を設定する
4. 応答の内容として、「callback 関数の名前」＋「(」＋「json ファイルの内容」＋「)」を返す

というような。

気になったのですが、呼び出しているファイルは「hoge.jsonp」です。
中身は、下記の様になっているのですが、
これが仰っている１～４の事かと思うのですが違いますでしょうか。
jsonCallback([省略])

hoge.jsonp の中身がそうなっているのであれば、それは JSONP の形式です。
静的なファイルだと url につけている ?jsonCallback=xxx は無駄な記述ですが、JSONP として jsonCallback 関数が呼び出されます。

> JSONP のときは応答の Content-Type ヘッダで application/javascript を返す
こちらをサーバ管理者にお願いしてみます。
難しい気はしますが...

そうですか、難しいですか。
.jsonp の MIME タイプを application/javascript にすれば、動くようになると思うのですが。

その hoge.jsonp ファイルは、自由に名前を付けられるのでしょうか。

静的なファイルで JSONP 形式ならば、hoge.js という名前で保存して、$.getJSON で hoge.js にアクセスすれば、application/javascript で返される可能性がかなり高いと思います。