次のような予想を立てました：「ループを持たない連結な３正則グラフには、その全ての頂点を含み１正則なサブグラフが必ず存在する」

※任意の２頂点間にサイクルが存在するような平面グラフに於いては成立する事がわかっています。平面グラフでない場合にどうなるかを調べています。

この予想は解決済みでしょうか。

もし解決済みならば、定理の名称や反例などを知りたいと思います。

（文芸回答可）

（７月２７日追記：単なる平面グラフでは反例が存在するので文言を追加しました）