点と直線の距離
http://www.cfv21.com/math/ptoldist.htm
や、
点と平面の距離
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/html.dir/node31.html
について、勉強していました。
これらに関連した練習問題だと思うのですが、
---------------------------------
次の直線上にあって原点からの距離が√19である点を求めよ。
(x-1)/2 ＝ (y-4)/1 ＝ (z-6)/3
※直線はパラメータkを用いて x＝1＋2k , y＝4＋k , z＝6＋3k
---------------------------------
という問題を解きたいのですが・・・。
そもそも「パラメータk～」という注釈がある理由も、よくわかりませんでして・・・3つの式は「三次元空間の直線を表している」そうなのですが・・・。
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします(>_<)
ベストアンサー
-
rsc
満足100pt
パラメーター（媒介変数）表示というのは、「比例式は、＝ｋとおけ」から、
(x-1)/2 ＝ (y-4)/1 ＝ (z-6)/3＝ｋ
とおくと、
ｘ＝2ｋ+1・・・①
ｙ＝ｋ+4・・・②
ｚ＝3ｋ+6・・・③
と表したものです。
問題文の1番目のURLの公式は、平面の場合の点と直線の距離の公式だから、この問題の場合使えません。この場合、2点間の距離の公式を使います。
●空間の2点間の距離AB
2点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)について、
AB^2＝(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2・・・④
①②③から、直線上の点P（2k+1,k+4,3k+6）と原点(0,0,0)の距離OPについて、④から、
OP^2＝(2k+1-0)^2+(k+4-0)^2+(3k+6-0)^2＝(√19)^2
∴(2k+1)^2+(k+4)^2+(3k+6)^2=19
∴14k^2+48k+53=19
∴14k^2+48k+34=0
∴7k^2+24k+17=0
∴(k+1)(7k+17)=0
∴k=-1 または、k=-17/7・・・⑤
これを①②③に代入して、求める点の座標は、
(-1,3,3) または、(-27/7,11/7,-9/7)
※参考URL
●直線の方程式
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/iroiro-kansu/h...
●空間における直線・平面の方程式
http://naop.jp/kyouzai/yosyu/bessi/bessi17.html
●媒介変数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B...
●2点間の距離
＞■座標空間の場合
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/henkan-tex.cgi?s...
-
moon-fondu
-
moon-fonduその他の回答
-
taka-hr
満足85pt
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/h...
に、R^3(空間)における直線のベクトル方程式があります。ここでいうところの
パラメータt と上記の問題の k が同じことです。
式変形という立場から見ると
(x-1)/2 ＝ (y-4)/1 ＝ (z-6)/3 = k と置くとパラメータ表示に変換できます。
あとは距離の公式に入れるだけなので解法は問題ないとは思いますが
k = -1, -(17/7) で (x, y, z) = (-1, 3, 3), (-27/7, 11/7, -9/7) になります。
以下余談ですが、R^2(平面)上の直線は ax + by + c = 0 として置けますが
R^3 では ax + by + cz + d = 0 は平面になります。で、2つの平行ではない
平面の共有点が直線になるので、
(x-1)/2 ＝ (y-4)/1 ＝ (z-6)/3
の式は、(x-1)/2 ＝ (y-4)/1 と (x-1)/2 ＝ (z-6)/3 という2つの平面の交線としても
解釈できます。
(ここでは省きますがもちろん (y-4)/1 ＝ (z-6)/3 も同じ交線を共有する平面になります。)
たとえば (x-1)/2 ＝ (y-4)/1 を展開すると x - 2y + 7 = 0 で、R^2 なら
直線ですが R^3 なので z 軸と平行な平面になります。同様に
(x-1)/2 ＝ (z-6)/3 は展開すると 3x - 2z + 9 = 0 となり y 軸と平行な平面で、
その交線として直線が定義できています。
これは、z軸の方向からみる(xy平面に投影する)と x - 2y + 7 = 0 の直線に見えて、
y軸の方向からみる(xz平面に投影する)と 3x - 2z + 9 = 0 の直線に見えるような
図形である、ということに対応します。
以上余談でした。これを説明するための画像など探したのですが見当たらなくて、
余計混乱させたらすみませんw;
-
moon-fondu
-
この質問へのコメント
質問の情報
- 登録日時
- 2010-02-02 02:18:01
- 終了日時
- 2010-02-03 02:14:01
- 回答条件
- 1人5回まで
この質問のカテゴリ
この質問に含まれるキーワード
人気の質問
-
この英文どうなってますか？ The boy seemed to be waiting for his mother to come.（その少年は母親が来…
匿名質問者
1
1
-
不定詞の形容詞的用法らしいんですけど、副詞的用法と書いたら✖️ですか？ I want to buy a book to read …匿名質問者11
-
日向陽葵という○V女優が好きなのですが似ている○V女優はいますか匿名質問者
-
共通テストで使われるプログラミング言語は共通テスト特有の言語と聞いたのですが、受験勉強で身につけたプ…匿名質問者1
-
内定してほしいポケモンはいますか？匿名質問者
「パラメータk～」というのは自由に数値を入れればいいのですよ。
k=-0.5なら (x,y,z)=(0,3.5,4.5)
k=-2なら (x,y,z)=(-3,2,0)
k=-4なら (x,y,z)=(-7,0,-6)
できた(x,y,z)座標は、kの一次関数なので１つの直線上にあります。
原点(0,0,0)から距離が√19である点の集合は何か判りますよね。
x^2+y^2+z^2が １９になるｋを求めて代入すればOKです。
ありがとうございます、勉強になります(^_^;)