6月末残金決済の金消契約のための審査でしたら、もうほとんど日がないと思いますので、信用機関情報の変更が間に合わないでしょう。
ただ、クレジットカードを解約して完済証明書をもらえれば違うかもしれませんが、それが有利に働くかどうかは銀行によりますので、スルガ銀行の担当者に「ここだけの話」で聞いてみるのが早いと思います。
追記:
>現時点での残高を返済して、カード会社からの残高ゼロの残高証明を発行してもらってそれを銀行に提出する
それだとおそらく意味がないですね。カードの問題は枠の範囲でいつでも借金が作れることですので。解約をしないかぎり融資審査に好影響はないでしょう。本当に好影響があるかどうかはやはり銀行の担当者に聞かないと分かりません。