数学Ⅱ 図形と方程式（軌跡） 答えを紛失して困ってます！解説お願いします
2定点B, Cの座標をそれぞれ (-1, 0), (1, 0) とする。点Aが直線 y=a(a>0) 上を動くとき、以下の問いに答えよ。
(1) △ABCの垂心Hの描く図形の方程式を求めよ。
(2) 原点OとHの距離の最小値を求めよ。
ベストアンサー
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rsc
こちらは参考になるでしょうか。
(1) 点A(t,a)と置くと、頂点Cに対する垂線の足をHcとすると、
AB⊥CHcより直線CHcの傾きｍは、
m･{(0-a)/(-1-t)}=-1
∴m=-(t+1)/a
よって、直線CHcの方程式は、
y=-{(t+1)/a}(x-1)…①
これと直線x=t…②の交点が垂心であるから、①,②から、tを消去して、
y=-{(x+1)/a}(x-1)=(1-x)(x+1)/a
よって、求める軌跡は
y=(1-x)(x+1)/a
∴y=(1-x^2)/a
※参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1338472873
●垂心の軌跡
http://www.300000.net/contents/h-locus.html
●垂心の軌跡（アニメーション）
http://www.geocities.jp/osaqmath/contents/h-locus_ani.html
(2)2点間の距離の公式より
OH^2=x^2+y^2=x^2+{(1-x^2)/a}^2
x^2=tとおくと、OH^2=f(t)は2次式となるので、平方完成。ただし、t=x^2>0
あとは、頂点と端の比較。←軸の位置による分類が必要
(計算略)
0<a<√2のとき、
x=±√[1-a^2/2]のとき、min(OH)=√[1-a^2/4]
a≧√2のとき、
x=0のとき、min(OH)=1/a
※参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=min%5Bsqrt%5Bx%5E2%2B%28%281-x%5E2%29%2Fa%29%5E2%5D%5D
●ｘの範囲に指定がある場合の2次関数の最大最小
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jikansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jikansuu/saidaisaisyou-2.html -
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Silvanusこの質問へのコメント
質問の情報
- 登録日時
- 2012-01-18 18:00:40
- 終了日時
- 2012-01-22 15:53:22
- 回答条件
- 1人5回まで
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