有限位数の体上の次の形のｎ変数不等方程式、
det｜Ａ(x1,x2,...,xn)｜≠0
の解の存在可能性について、何か参考になる定理などがあれば教えて下さい。
ここで、det｜ｘ｜は正方行列ｘの行列式、Ａ(x)は変数xを要素に含む正方行列を表すとします。
また、上の方程式で左辺が恒等的に0となるものは除かれているものとします。
例によって、これをネタにした文芸回答も可です。
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みんなの回答
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Seven Knights
Aの余因子行列をadjAとすると(adjA)A=A(adjA)=|A|Iだから，Aの逆行列が存在するための必要十分条件は|A|≠0で，Aは非特異行列ということを意味しているのでしょうか。もう40年近く前の大学１年生のときに文系数学Iでやったことをぼんやりと思い出しました。
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くろょ
なんとなく自己解決しました。
仮に、式として零でない多変数多項式が0以外の値をとる事がないとします。これは独立変数がどんな値であっても0になる事を表します。
ここで、一つの変数xに着目して一変数の方程式を考えてみます（つまり、残りの変数は係数として扱います）。すると、任意の値がこの方程式の解という事になります。体の位数がnなら、解がn個あるという意味です。
ところが、有限体の性質から、x^n=xとなりますので、この方程式の次数は高々(n-1)次、したがって代数方程式の基本定理より、解は(n-1)個しか存在しません。
これは、方程式を成立させないようなxが少なくとも一つは存在する事を意味します。よって、どんな値でも方程式の解となるという仮定に矛盾します。
以上から、式として零とならない有限体上の多変数不等方程式には必ず解が存在する事になると思うのですが、どうでしょう。
Seven Knightsこの質問へのコメント
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くろょ2018/01/28 15:46:32
もういっそ、「文芸回答可」っていう設定項目（以下略
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くろょ2018/01/31 23:09:58
あらためて読み返してみると、確かに紛らわしかったです。式の意味はみやどさんのおっしゃる通りです。
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Seven Knights2018/02/01 05:04:20
どうやらｎ次元空間ベクトルを題材にした問題ではないみたいですね。
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くろょ2019/01/19 22:16:08
今更ですが、「グレブナ基底」というものと関係あるみたいですね。
質問の情報
- 登録日時
- 2018-01-28 15:43:51
- 終了日時
- 2018-02-25 15:53:15
- 回答条件
- 1人3回まで
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