【赤い部分が二等辺直角三角形になるのはなぜ？】
教員採用試験の問題集にあり、恥ずかしながら自分にはわからなかったので質問です。
正方形の中に、正三角形が図のように内接しているとします。
そのとき、赤い三角形の部分が「二等辺直角三角形になるので」と、問題集の解説には書いてあり、そのまま説明が先に進むのですが、学生から「なぜ二等辺直角三角形になるのか証明してほしい」と言われ、言葉に詰まってしまいました。
「線対称だから」以外の、きっちりとした証明はないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
ベストアンサー
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a-kuma3
満足100pt
赤で塗られていない方の、すき間の二つの三角形に注目します。
三角形の合同の条件は、みっつありますが、直角三角形の場合には、更にふたつ加わります。- 斜辺の長さと、鋭角のひとつが、それぞれ等しい
- 斜辺の長さと、他の辺の長さが、それぞれ等しい
すき間の三角形は、直角三角形です（ひとつの角が正方形の角だから）。
斜辺の長さは、内接している正三角形の辺なので、長さは等しいです。
斜辺ではない辺のうち、正方形の一辺である辺は、長さが等しいです。
直角三角形で、「斜辺の長さと、もう一辺の長さが、それぞれ等しい」を満たすので、ふたつの三角形は合同です。
なので、正方形の一片ではない方の長さが等しいですから、正方形の一辺から、その長さを引いた線分、つまり赤い三角形の正方形と辺を共有している線分の長さが一致するので、赤い三角形は二等辺三角形です。
その二辺で挟まれた角は、正方形の角ですから直角。
というわけで、赤い三角形は直角二等辺三角形です。
（追記です）
絵がないときついので、回答 No.3 で使われていたページの絵を使います。
https://sci-pursuit.com/math/triangular-congrent-condition.html#2
まず、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」から。
もうひとつの鋭角である、∠BAC の角度は、直角－∠ABC です。
∠ABC＝∠A'B'C' ということは、それぞれを直角から引いた値 直角－∠ABC＝直角－∠A'B'C' です。
つまり、∠BAC＝∠B'A'C' 。
一辺と、その両端の角がそれぞれ等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。
つぎに、「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」。
辺 b の長さは、です。辺 b' も同様。
a = a' 、c = c' ということは、が成り立つので、b = b' です。
三辺の長さが等しいので、ふたつの直角三角形は合同です。
lionfan2その他の回答
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keijun5145
満足30pt
正方形の中の正三角形なので、正方形の図左上から出ている線が作っている角度は15度、60度、15度
その角から出ている線（正方形の一辺）は下にいっても右にいっても等しい。
三角形の斜辺に該当する部分は正三角形なので、長さが等しい
このことから2辺とその間の角が等しいので左側の三角形と上の三角形は合同
いずれも三角形の短辺になるので、正方形の一辺の長さをnとして合同を証明した三角形の短辺をmとm'とする（mとm'は合同）
赤の三角形の2辺の長さはn-mとn-m'になる（この長さは等しい）
このことから赤の三角形は直角二等辺三角形になる
ぐらいでしょうか？
お昼寝しないで考えてみました。
ご参考まで。 -
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kamiyaman_blog
みやど
Asayuri
rsc
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質問の情報
- 登録日時
- 2018-06-29 12:46:43
- 終了日時
- 2018-06-30 16:47:39
- 回答条件
- 1人1回まで
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https://www.youtube.com/watch?v=7MXJwcapV6I
実際上は、直角を挟む半直線を引いて、a-kuma3さんの記号で点Bを取って、Aを見つけるために円を描けば交点が1つに定まるだろ、といった「ごまかした証明」が見受けられます。