数学です。


x+y+z=1
のとき、
x^2+y^2+z^2≧1/3
であることを、簡単でいいので理由付で解説お願いしまっす。

(図形的に捉えるのではなく、数式の変形から導いてくれると嬉しいです)

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/01/14 06:43:57
  • 終了:2008/01/14 16:40:02

回答(3件)

id:laq No.1

laq回答回数152ベストアンサー獲得回数42008/01/14 08:50:38

ポイント60pt

一般に以下の式が成り立ちます。


x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + zx


詳細はこのページの半ばにあります。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/inequality2.ht...


実数 x、y、z に対して、不等式 x^2 +y^2 +z^2≧xy+yz+zx が成り立つことは、受

験問題集を紐解いた方なら誰でも1度はお目にかかっていると思う。


証明はこの続きに記載されています。

そして、等号が成り立つのは x = y = z のときです。


x + y + z = 1


ですから、等号が成り立つのは


x = y = z = 1/3


のとき。


x^2+y^2+z^2 >= (1/3)^2 + (1/3)^2 + (1/3)^2 >= 1/3


ということになります。

id:miku1973

おおおおありがとう!

2008/01/14 09:33:24
id:Bill No.2

Bill閣下回答回数17ベストアンサー獲得回数32008/01/14 08:56:42

ポイント10pt

x, y, z が正の実数のとき限定だったら。

x+y+z=1
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1
2(xy+yz+zx)=1-(x^2+y^2+z^2)//この式を式A とする

相加平均≧相乗平均 はご存知ですよね?これにより、
(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)≧2xy+2yz+2zx
2(x^2+y^2+z^2)≧2(xy+yz+zx)//この式を式B とする

あとは、式B の右辺を式A の右辺に置き換えて計算していくと x^2+y^2+z^2≧1/3 が得られます。

id:dyingdreamer No.3

dyingdreamer回答回数1ベストアンサー獲得回数02008/01/14 08:46:53

ポイント10pt

シュワルツの不等式の一つに

(ax+by+cz)^2 ≦ (a^2 +b^2 +c^2)(x^2 +y^2 +z^2)

というのがあり、

a,b,cに1を入れると、

(x+y+z)^2 ≦ 3(x^2 +y^2 +z^2)

x+y+z=1なので

1/3 ≦ (x^2 +y^2 +z^2)

となります。

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