1209637493 パズルに挑戦 No.2


以下のパズルを解けた人、どのように解いたかを 教えてください。

★★★魔方陣パズル★★★

数字は 1から25まですべて使い 縦、横の合計が それぞれ65になればいいです。
(すべて使うので重複することはありません)
斜めは 関係ありません。
空いてる箇所にいくつの数字が入るかをといて、そのときかたを 教えてください。
どのようにして といたのかが重要です。プログラムなどはナシです。

画像のほうを 参考にして 下のは 回答用に使ってください。
(空いてる箇所は、アルファベットを入れてありますので、回答に使ってください)

なお、回答の文字数が 足りなければ コメントを使ってもいいです。


10_ a_ 9_ b_ c
d_13_ e_24_ f
11_ g_25_ h_21
i_17_ j_ 2_ k
14_ m_12_ n_ p

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2008/05/01 19:24:55
  • 終了:2008/05/05 20:03:03

ベストアンサー

id:dungeon-master No.4

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402008/05/02 20:16:00

ポイント40pt

まず、数字が3個入っている行/列について調べてみると、

d,i=残り合計→(8,22)か(7,23)の組み合わせ:4通り

e,j=残り合計19→(1,18)か(3,16)か(4,15)の組み合わせ:8通り

g,h=残り合計8→(5,3)か(1,7)の組み合わせ:4通り


このままだと4*4*8の128通りということになって面倒なのでスクリーニングします。

g,hに(1,7)を使うとe,jの(1,18)とd,iの(7,23)が使えず、

g,hに(5,3)を使うとe,jの(3,16)が使えません。

d=22についてeの値を考えて見ると、

eに18,16,15を入れた場合は行の合計が65を超えるので使えません。

1を入れるとf=5となり、g,hの(3,5)が使えなくなります。

3を入れるとf=3で自滅。4を入れると仕様済みの2がfに出るのでだめ。

ということで、d=22はなくなります。


以上の考慮で32通りまで絞れたので、とりあえず表を起こして見ます。

d i g h e j
8 22 1 7 3 16
8 22 1 7 16 3
8 22 1 7 4 15
8 22 1 7 15 4
8 22 7 1 3 16
8 22 7 1 16 3
8 22 7 1 4 15
8 22 7 1 15 4
8 22 3 5 1 18
8 22 3 5 18 1
8 22 3 5 4 15
8 22 3 5 15 4
8 22 5 3 1 18
8 22 5 3 18 1
8 22 5 3 4 15
8 22 5 3 15 4
7 23 3 5 1 18
7 23 3 5 18 1
7 23 3 5 4 15
7 23 3 5 15 4
7 23 5 3 1 18
7 23 5 3 18 1
7 23 5 3 4 15
7 23 5 3 15 4
23 7 3 5 1 18
23 7 3 5 18 1
23 7 3 5 4 15
23 7 3 5 15 4
23 7 5 3 1 18
23 7 5 3 18 1
23 7 5 3 4 15
23 7 5 3 15 4

引き続き、dとeのとり方を見てみます。

d=23では、eに18,15を入れられません(行の合計が65を超える)。

d=23のときi=7ですが、このときjに18,15のどちらが入っても、既に

使っている数字がkに出てくるので使えません。

d=23も消えます。


次にd=8について。

e=4と入れるとk=9でNG。3もしくは16と入れると、k=21か8でこれもNG。

e=15は、f=5になるので、g,hに(3,5)が使えなくなります。


d=7について。

e=4は、f=17で使用済みのためNG。

e=18だとf=3、e=1だとk=5となり、g,hに(3,5)が使えなくなります。


ここまでくると組み合わせはかなり減ります。

d/i/g/h/e/j=

8/22/1/7/15/4,8/22/7/1/15/4,

8/22/3/5/1/18,8/22/3/5/18/1,8/22/5/3/1/18,8/22/5/3/18/1,

7/23/3/5/15/4,7/23/5/3/15/4

の8通りとなりました。

これらの数字の組み合わせとfkを確定させ、a,lとb,mとc,nに数字がはいるか見てみます。

8/22/1/7/15/4→b+m=32になる組み合わせがとれません。

8/22/7/1/15/4→a+l=28,b+m=38になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/1/18→a+l=32,b+m=34になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/18/1→a+l=32になる組み合わせがとれません。

8/22/5/3/1/18→正解候補1、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15) abc合計39、lmn合計46

8/22/5/3/18/1→a+l=30になる組み合わせがとれません。

7/23/3/5/15/4→a+l=32になる組み合わせがとれません。

7/23/5/3/15/4→正解候補2、a,l=(8,22) b,m=(16,20) c,n=(1,18) abc合計46、lmn合計39

候補が2通りになりました。

正解候補1は、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15)をどうとっても、横計が成立しません。

正解候補2は、a+b+c=8+20+18=46,l+m+n=22+16+1=39で成立。


というわけで、正解は

10 8 9 20 18
7 13 15 24 6
11 5 25 3 21
23 17 4 2 19
14 22 12 16 1
id:taknt

32パターンに絞り込んでの検証ですね。

OKです。

2008/05/05 19:28:16

その他の回答(7件)

id:kumaimizuki No.1

くまいみずき回答回数614ベストアンサー獲得回数312008/05/01 21:43:57

ポイント25pt

答えとしては


a : 8

b : 20

c : 18

d : 7

e : 15

f : 6

g : 5

h : 3

i : 23

j : 4

k : 19

m : 22

n : 16

p : 1


です。




調べ方は、まず横の3列目に注目しました。


f:id:kumaimizuki:20080501213736j:image



ここの数字は、表示されている時点で合計が57になっています。

つまり、残りは8です。

残りの数字のうち、8になる組み合わせは『1と7』か『3と5』のどちらかのみです。

ここで注目するのは、縦の左側の列です。

ここの合計は、35なので残りは30となります。

30になる組み合わせは、『7と23』か『8と22』のどちらかです。

仮に、横の3列目が『1と7』だった場合、縦の一番左側の列は、『8と22』しかなくなります。

ところが、『8と22』をdとiのどちらに入れても、すべて65にすることは出来ません。

数字を埋めているうちに、必ず成り立たない組み合わせのみが残ってしまいます。

この時点で、横の3列目は『3と5』が確定します。

あとは、gとhのどちらが3で、どちらが5になるかを考えます。

同じように調べていくと、gが3というパターンでは成り立たなくなります。

結果、gが5で、hが3ということが確定します。

この時点で、左2列が残り30となります。

30の組み合わせは『7と23』か『8と22』ですので、どちらかが前者、どちらかが後者となります。

これはここでひとまず置いておきます。


f:id:kumaimizuki:20080501213737j:image



次に確定させたのは、縦の右から2列目です。

ここの残りは残りは36となります。

しかし、22と23は左の列で確実に使うのではずすと、『20と6』の組み合わせのみしか考えられません。

bに6を入れてしまうと、一番上の横の列まで、残りが30になってしまうため、これでは完成できません。

この結果、bが20で、nが16となります。


f:id:kumaimizuki:20080501213738j:image



今度は、一番下の横列を見ます。

この時点で残りは23ですが、片方が『7と23』か『8と22』の入る30の列と被るため、どうしても『8と22』のどちらかが入ることになります。

つまり、一番左の列が『7と23』、左から2列目が『8と22』の入る列となります。

もし、dに23を入れてしまうと、下から2列目が残り39となります。

この時点で、39にする組み合わせは出来ないため、dが7で、iが23となります。


f:id:kumaimizuki:20080501213739j:image



次に中央の縦列を見ます。

ここの残りは19ですので、『1と18』か『4と15』のみの組み合わせとなります。

注目はjの枠です。

ここに、1を入れると下から2番目の残りは22。

4を入れると下から2番目の残りは19。

15を入れると下から2番目の残りは8。

18を入れると下から2番目の残りは5。

この4種類のうち、22と8は別のところで使うために可能性は否定できます。

さらに、5は既に確定しているので、残りの4がjに入ります。

必然的に、eが15、kが19となります。

そして、fが6と自動的に決まります。


f:id:kumaimizuki:20080501213740j:image



残った数字は、1と8と18と22の4つです。

左から2列目は、『8と22』。

一番上の列は、『8と18』。

という組み合わせしか考えられないため、aが8でcが18。

さらに自動でmが22、pが1となり、升目がすべて埋まり、縦横の合計が65となりました。


f:id:kumaimizuki:20080501213741j:image




とまぁ、半分後付な理由だったりしますが。

途中まで調べて、あとはしらみつぶしに数字を埋めていったら、偶然にも最後のようなパターンを見つけた。というだけだったり(^-^;

いちおー、理論付けてみましたけどどうでしょうか?



ちなみに、Excelを使って解いてみました。

関数は合計の関数と差分を求める計算式のみです(笑)

id:taknt

しらみつぶしというパターンが多いみたいですね。

2008/05/05 19:05:16
id:souju No.2

souju回答回数38ベストアンサー獲得回数02008/05/01 21:45:00

ポイント10pt

まず

a+b+c=46

d+e+f=28

g+h=8

i+j+k=46

m+n+p=39 167


d+i=30

a+g+m=35

e+j=19

b+h+n=39

c+f+k+p=44 167



これを機械的に解くのは,12個の変数に10個の式なのでちょっと困難。

#a~pまでを全て足した数は独立した条件とはならない。

1~25の整数を1回のみ使うという制約をフルに活用する。



g+h=8となるg,hの組み合わせは,

(g,h)=(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)の4とおり。

(2は使えないし,4+4は駄目)

次に既に埋まっている数字を利用すると,2つの数字を足して32にしてはならないという条件が導かれる。

( (7,25),(8,24),(9,23),(10,22),(11,21),(12,20),(13,19),(14,18),(15,17),(16,16)のいずれも許されない。)

そうすると,3つの数字の和の式においてタブーとなる数字が出てくる。

m,n,pのいずれも7であってはならない。

a,g,mのいずれも3であってはならない。

b,h,nのいずれも7であってはならない。

なお,他の数式については新たな制約とはならない(a,b,cは14とはならないというのは,14が盤面に使われている以上意味なし)。



そうすると

(g,h)=(5,3),(7,1)の2とおりに限定される。



次に

(d,i)=(7,23),(8,22),(22,8),(23,7)の4とおり。

この二つを適当に仮定してやると,

8つの変数に,8つの条件式。解けるはず。

しかしここでは魔法陣の性質を活かしつつ,計算を省力化していく。



(g,h,d,i)=(5,3,7,23)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=21

j+k=23

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44



(e,f)=(1,20),(6,15),(15,6),(20,1)

(j,k)=(1,22),(4,19),(8,15),(15,8),(19,4),(22,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

a,mのどちらかで8,22の両方を使わなければならないことに着目すると,

(j,k)=(4,19),(19,4)

これとe,jの制約条件をかみ合わせると

(e,j,k)=(15,4,19)

しかし,これはe,jの制約条件と矛盾



(g,h,d,i)=(5,3,8,22)と仮定すると

a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44



(e,f)=(1,19),(4,16),(16,4),(19,1)

(j,k)=(1,23),(4,20),(6,18),(18,6),(20,4),(23,1)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)



これらの制約条件を満たすのは,(e,f,j,k)=(1,19,18,6)しかあり得ない。

(a,b,m,n)=(8,16,22,20),(8,20,22,16),(22,16,8,20),(22,20,8,16)

そのときc,pは上記の順で(c,p)=(22,-3)(18,1)(8,11)(4,15)

であるが他の数字との重複を除くと(c,p)=(4,15)しかない。



そうすると,

(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,m,n,p)=(22,20,4,8,1,19,5,3,22,18,6,8,16,15)

が制約条件を満たす。

#ただし,これが唯一解であるかは保証されていない。

#さらなる計算が必要である。



魔法陣の形で記載すると下のとおり。

10_22_ 9_20_ 4

8_13_ 1_24_19

11_ 5_25_ 3_21

22_17_18_ 2_ 6

14_ 8_12_16_15

id:taknt

最初の数式を 少し計算させて減らせないでしょうか?

2008/05/05 19:31:11
id:blanketsky No.3

blanketsky回答回数5ベストアンサー獲得回数12008/05/02 13:40:00

ポイント15pt

使われていない数字の集合を

S1 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23}

とします。


3行目に注目すると g + h = 8

S1の中で足して8になるペアは {1,7} と {3,5} だけです。

つまり (g,h) = (1,7) or (7,1) or (3,5) or (5,3) となります。


しかしS1の中で足して32になるペアが無いため

h=7 の場合は4列目を満たす(b,n)が存在せず、

g=3 の場合は2列目を満たす(a,m)が存在しません。

よって、(g,h) = (7,1) or (5,3) に絞られます。


□ (g,h) = (5,3) と仮定してみます。(こちらの方が (a,m),(b,n) の候補が少なくなるので )

するとS1の中で4列目 b + n = 36 を満たす解 (b,n) = (16,20) or (20,16) が決まりますが

b=16 の場合、a + c = a + m = 30 かつ c ≠ m となり不適格。

よって

□ (b,n) = (20,16)


この時点でまだ使われていない数字の集合を

S2 = {1, 4, 6, 7, 8, 15, 18, 19, 22, 23}

とします。この中で 2列目、1行目、5行目を同時に満たす組み合わせを列挙すると

(a,m) = (8,22) , (c,p) = (18,1)

or

(a,m) = (22,8) , (c,p) = (4,15)

のどちらかしかありません。


どちらにせよ c + p = 19 (ゆえに f + k = 25) が成り立ちます。

また、どちらにせよ a と m で 8 と 22 が使われるので

S3 = S2 - {8,22} = {1, 4, 6, 7, 15, 18, 19, 23}

とします。


ここで残りの変数 d,e,f,i,j,k について考えます。

分かっている方程式は

  • (1) d + i = 30 (1列目)
  • (2) e + j = 19 (3列目)
  • (3) f + k = 25 (5列目)
  • (4) d + e + f = 28 (2行目)
  • (5) i + j + k = 46 (4行目)

S3 の中で (1) を満たすペアは {7,23} しか無いので (d,i) = (7,23) or (23,7)

S4 = S3-{7,23} の中で(3)を満たすペアは {6,19} しか無いので (f,k) = (6,19) or (19,6)


(4),(5)を使って

(28-e, 46-j) = (d+f, i+k) = (7+6, 23+19) or (23+19, 7+6) or (7+19, 23+6) or (23+6, 7+19)

すなわち

(e,j) = (15,4) or (-14, 33) or (2, 17) or (-1, 20)


このうち、S4-{6,19} の中に含まれるのは

□ (e,j) = (15,4)

のみです。


あとは手順を逆に辿って、

□ (d,i) = (7,23)

□ (f,k) = (6,19)

□ (c,p) = (18,1)

□ (a,m) = (8,22)

を得ます。


(g,h) = (7,1) のケースをまだ考えていませんが、

とりあえずこんな感じで一つ解が見つかりました。

id:taknt

一応、すべてのパターンを 考慮したほうがいいですよね。

2008/05/05 19:22:32
id:dungeon-master No.4

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402008/05/02 20:16:00ここでベストアンサー

ポイント40pt

まず、数字が3個入っている行/列について調べてみると、

d,i=残り合計→(8,22)か(7,23)の組み合わせ:4通り

e,j=残り合計19→(1,18)か(3,16)か(4,15)の組み合わせ:8通り

g,h=残り合計8→(5,3)か(1,7)の組み合わせ:4通り


このままだと4*4*8の128通りということになって面倒なのでスクリーニングします。

g,hに(1,7)を使うとe,jの(1,18)とd,iの(7,23)が使えず、

g,hに(5,3)を使うとe,jの(3,16)が使えません。

d=22についてeの値を考えて見ると、

eに18,16,15を入れた場合は行の合計が65を超えるので使えません。

1を入れるとf=5となり、g,hの(3,5)が使えなくなります。

3を入れるとf=3で自滅。4を入れると仕様済みの2がfに出るのでだめ。

ということで、d=22はなくなります。


以上の考慮で32通りまで絞れたので、とりあえず表を起こして見ます。

d i g h e j
8 22 1 7 3 16
8 22 1 7 16 3
8 22 1 7 4 15
8 22 1 7 15 4
8 22 7 1 3 16
8 22 7 1 16 3
8 22 7 1 4 15
8 22 7 1 15 4
8 22 3 5 1 18
8 22 3 5 18 1
8 22 3 5 4 15
8 22 3 5 15 4
8 22 5 3 1 18
8 22 5 3 18 1
8 22 5 3 4 15
8 22 5 3 15 4
7 23 3 5 1 18
7 23 3 5 18 1
7 23 3 5 4 15
7 23 3 5 15 4
7 23 5 3 1 18
7 23 5 3 18 1
7 23 5 3 4 15
7 23 5 3 15 4
23 7 3 5 1 18
23 7 3 5 18 1
23 7 3 5 4 15
23 7 3 5 15 4
23 7 5 3 1 18
23 7 5 3 18 1
23 7 5 3 4 15
23 7 5 3 15 4

引き続き、dとeのとり方を見てみます。

d=23では、eに18,15を入れられません(行の合計が65を超える)。

d=23のときi=7ですが、このときjに18,15のどちらが入っても、既に

使っている数字がkに出てくるので使えません。

d=23も消えます。


次にd=8について。

e=4と入れるとk=9でNG。3もしくは16と入れると、k=21か8でこれもNG。

e=15は、f=5になるので、g,hに(3,5)が使えなくなります。


d=7について。

e=4は、f=17で使用済みのためNG。

e=18だとf=3、e=1だとk=5となり、g,hに(3,5)が使えなくなります。


ここまでくると組み合わせはかなり減ります。

d/i/g/h/e/j=

8/22/1/7/15/4,8/22/7/1/15/4,

8/22/3/5/1/18,8/22/3/5/18/1,8/22/5/3/1/18,8/22/5/3/18/1,

7/23/3/5/15/4,7/23/5/3/15/4

の8通りとなりました。

これらの数字の組み合わせとfkを確定させ、a,lとb,mとc,nに数字がはいるか見てみます。

8/22/1/7/15/4→b+m=32になる組み合わせがとれません。

8/22/7/1/15/4→a+l=28,b+m=38になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/1/18→a+l=32,b+m=34になる組み合わせがとれません。

8/22/3/5/18/1→a+l=32になる組み合わせがとれません。

8/22/5/3/1/18→正解候補1、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15) abc合計39、lmn合計46

8/22/5/3/18/1→a+l=30になる組み合わせがとれません。

7/23/3/5/15/4→a+l=32になる組み合わせがとれません。

7/23/5/3/15/4→正解候補2、a,l=(8,22) b,m=(16,20) c,n=(1,18) abc合計46、lmn合計39

候補が2通りになりました。

正解候補1は、a,l=(7,23) b,m=(16,20) c,n=(4,15)をどうとっても、横計が成立しません。

正解候補2は、a+b+c=8+20+18=46,l+m+n=22+16+1=39で成立。


というわけで、正解は

10 8 9 20 18
7 13 15 24 6
11 5 25 3 21
23 17 4 2 19
14 22 12 16 1
id:taknt

32パターンに絞り込んでの検証ですね。

OKです。

2008/05/05 19:28:16
id:souju No.5

souju回答回数38ベストアンサー獲得回数02008/05/03 01:08:16

ポイント20pt

先ほどの回答で唯一解であることを示していなかったのでこの点について補足を行う。



先の解答では

(g,h,d,i)=(5,3,7,23),(5,3,8,22)について検討を加えたので,

ここでは,

(g,h,d,i)=(5,3,22,8),(5,3,23,7),(7,1,8,22),(7,1,22,8)を順次検討する。

#h=1のときは,d,iに1を使えないことに留意。



(g,h,d,i)=(5,3,22,8)を検討

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

このときは,2,5が使用済みのためe,fの適当な組み合わせが存在しない。



(g,h,d,i)=(5,3,23,7)を検討

a+b+c=46

e+f=5

j+k=39

m+n+p=39

a+m=30

e+j=19

b+n=36

c+f+k+p=44

(e,f)=(1,4),(4,1)

(j,k)=(16,23),(19,20),(20,19),(23,16)

(a,m)=(8,22),(22,8)

(e,j)=(1,18),(4,15),(15,4),(18,1)

(b,n)=(16,20),(20,16)

b,nの組み合わせで16,20の両方を使わなければならないが,そうするとj,kの制約条件を満たせなくなる。



次に,(g,h)=(7,1)の場合を考える。

このとき(d,i)=(8,22),(22,8) (7を2回使えない。)

(d,i)=(8,22)を検討



a+b+c=46

e+f=20

j+k=24

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

(e,f)=(4,16),(5,15),(15,5),(16,4)

(j,k)=(4,20),(5,19),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(19,5),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)



a,mの組み合わせで5と23を使ってしまうことを考慮に入れると,

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(4,20),(6,18),(8,16),(16,8),(18,6),(20,4)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

e,fの組み合わせで4,16を使ってしまうことを考慮に入れると,

(e,f)=(4,16),(16,4)

(j,k)=(6,18),(8,16),(16,8),(18,6)

(a,m)=(5,23),(23,5)

(e,j)=(3,16),(4,15),(15,4),(16,3)

(b,n)=(15,23),(18,20),(20,18),(23,15)

(e,j),(j,k)の組み合わせを見たそうとすると,(e,j,k)=(3,16,8)しかないが,

これはe,fの制約条件に反する。



最後に(d,i)=(22,8)を検討する。

a+b+c=46

e+f=6

j+k=38

m+n+p=39

a+m=28

e+j=19

b+n=38

c+f+k+p=44

しかし,1,2は使用済みなのでe+f=6の制約条件を満たし得ない。

よって,先に回答したものが唯一解であることが示された。



#結局力技です。

#なお,先ほどの解答で167と書いてあるのは検算の名残なので無視してください。

id:taknt

別解のチェックは、最初に解いたときの検証となります。

なので、重要ですよね。

2008/05/05 19:30:56
id:imo758 No.6

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192008/05/03 15:00:19

ポイント10pt

まず次のように書いた紙切れを作ります。

1●345678●●●●●●1516●181920●2223

2322●201918●1615●●●●●●876543●1

これをノギスのようにかみ合わせて使うと、二項和の組み合わせ表が楽に作れます。するとある数字を作るための二項和の組み合わせはかなり限定されていることに気づきます。特に二項和で32となるものは無いという重要な結果が得られます。ここでg=3だとa+m=32、h=7だとb+n=32とそれぞれ破綻するので(g,h)=(7,1),(5,3)です。

【h=1】d,e,fのどれかに22が入ることはありません。もし入れると残りの二項和は1+5となり、g+hが構成できません。なので(d,i)=(8,22)です。以降あまり選択の余地の無いまま推論を進めていくと、破綻が容易に確認できます。

【h=3】nに注目します。ここはn+p+m=n+b+h=39という要所にあるので、39-nの二項和は二通り以上の構成法を要求します。よってここに放り込めるのは既に16,18,20しかありませんが、もう総当りでも苦になりません。そしてn=16の場合のみ唯一解に到達します。

id:taknt

ちょっと簡潔すぎですね。

最後に ちゃんと解けたのかも不明です。

2008/05/05 19:34:34
id:kuro-yo No.7

くろょ回答回数169ベストアンサー獲得回数292008/05/04 11:28:38

ポイント5pt

小さい数字の組は限定されますので、既に入っている数字の和の大きいところから始めます。

以下、横を上からの「行」で、縦を左からの「列」で、表記します。

まず、もっとも合計の大きい3行目(g,h)から始めます。

g + h = 65 - ( 11 + 25 + 21 ) = 8
⇒
(g,h) = (1,7),(3,5),(5,3),(7,1)

次は、3列目です。

e + j = 65 - ( 9 + 25 + 12 ) = 19
⇒
(e,j) = (1,18),(3,16),(4,15),(15,4),(16,3),(18,1)

次は、2行目です。eに入り得るものは上で決まっていますので、おのおののe毎に当てはめます。(e,j)の値によっては(g,h)が制限される事に注意して当てはめて行きます(例えば、e=1,7の時は3,5も使えない、など)。ここまで来ると力技です(笑)。

d + e + f = 65 - ( 13 + 24 ) = 28
⇒
(d,e,f) = 
 (4,1,23),(7,1,20),(8,1,19),(19,1,8),(20,1,7),(23,1,4),
 (6,3,19),(8,3,17),(17,3,8),(19,3,6),
 (1,4,23),(5,4,19),(6,4,18),(8,4,16),(19,4,5),(23,4,1),
 (5,15,8),(6,15,7),(7,15,6),(8,15,5),
 (4,16,8),(8,16,4),
 (4,18,6),(6,18,4)

次は、1列目です。…やってて気付きましたが、2行目より先に1列目をする方が簡単です(笑)

d + i = 65 - ( 10 + 11 + 14 ) = 30
⇒
(d,e,f,i) = 
 (7,1,20,23),(8,1,19,22),(23,1,4,7),
 (8,3,17,22),
 (8,4,16,22),(23,4,1,7),
 (7,15,6,23),(8,15,5,22),
 (8,16,4,22)

次は、4行目です。e,i,jが既に決まってますので、簡単です。

i + j + k = 65 - ( 17 + 2 ) = 46
⇒
(d,e,f,i,j,k) = (8,1,19,22,18,6),(7,15,6,23,4,19),(8,15,5,22,4,20)

一旦整理すると、

(d,e,f,g,h,i,j,k) = 
 (8,15,5,1,7,22,4,20),
 (8,1,19,3,5,22,18,6),(7,15,6,3,5,23,4,19),
 (8,1,19,5,3,22,18,6),(7,15,6,5,3,23,4,19),
 (8,15,5,7,1,22,4,20)

ここまでくると、どこから攻めてもあまり変わりませんので、2列目に行きます。

a + g + m = 65 - ( 13 + 17 ) = 35
⇒
(a,d,e,f,g,h,i,j,k,m) = 
 (16,8,15,5,1,7,22,4,20,18),(18,8,15,5,1,7,22,4,20,16),
 (7,8,1,19,5,3,22,18,6,23),(23,8,1,19,5,3,22,18,6,7)

4列目。

b + h + n = 65 - ( 24 + 2 ) = 39
⇒
(a,b,d,e,f,g,h,i,j,k,m,n) = 該当なし

…あれ?

id:taknt

私も解いてて、あれっ?ということは よくあります。

そのたびに 問題にミスがあるんじゃないかと 疑うことはありますが、

根気よく再度 解いたりしますねぇ。

ま、実際に 問題にミスがある場合もたまにありますし。

2008/05/05 19:48:28
id:kuro-yo No.8

くろょ回答回数169ベストアンサー獲得回数292008/05/04 18:38:53

ポイント15pt

次の順番でやってみました。

d + i = 65 - 35 = 30
⇒ (d,i) = (23,7),(22,8),(8,22),(7,23)

g + h = 65 - 57 = 8
⇒ (g,h) = (1,7),(3,5),(5,3),(7,1)

e + j = 65 - 46 = 19
⇒ (e,j) = (1,18),(3,16),(4,15),(15,4),(16,3),(18,1)

a + g + m = 65 - 30 = 35
b + h + n = 65 - 26 = 39
※数が多いので省略:各(g,h)毎に求めます。

この段階で、存在しない組み合わせを排除すると、

(g,h) = (5,3),(7,1)
(d,g,h,i) = (23,5,3,7) (7,5,3,23) (22,5,3,8) (8,5,3,22) (22,7,1,8) (8,7,1,22)

を得ます。

a + g + m = 65 - 30 = 35
b + h + n = 65 - 26 = 39
⇒
(a,g,h,m) =
 (23,5,3,7),(22,5,3,8),(8,5,3,22),(7,5,3,23),
 (23,7,1,5),(22,7,1,6),(20,7,1,8),(8,7,1,20),(6,7,1,22),(5,7,1,23)
(b,g,h,n) =
 (20,5,3,16),
 (23,7,1,15),(22,7,1,16),(20,7,1,18)

d + e + f = 65 - 37 = 28
i + j + k = 65 - 19 = 46
⇒
(e,j,d,f,i,k) =
 (1,18,22,5,8,20),
 (15,4,8,5,22,20),
 (15,4,7,6,23,19),(16,3,7,5,23,20),(18,1,7,3,23,22)

再び、矛盾する組み合わせを排除すると、

(e,j,d,f,i,k,g,h,b,n,a,m) = (15,4,7,6,23,19,5,3,20,16,22,8),(15,4,7,6,23,19,5,3,20,16,8,22)

を得ます。一旦、魔法陣に書き戻しますと、

10_ a_ 9_ b_ c
 d_13_ e_24_ f
11_ g_25_ h_21
 i_17_ j_ 2_ k
14_ m_12_ n_ p
⇒
10_ a_ 9_20_ c
 7_13_15_24_ 6
11_ 5_25_ 3_21
23_17_ 4_ 2_19
14_ m_12_16_ p

使われてない数字は、

1,8,18,22

です。したがって、残りは、

a + c = 65 - 39 = 26 = 8 + 18
m + p = 65 - 42 = 23 = 22 + 1
c + p = 65 - 46 = 19 = 18 + 1

となりますので、

10_ 8_ 9_20_18
 7_13_15_24_ 6
11_ 5_25_ 3_21
23_17_ 4_ 2_19
14_22_12_16_ 1

となりました。整理しますと、

  • 合計の極端に小さいところや極端に大きいところから始める。
  • 未知のマスの数が少ないところから始める。
  • 矛盾する組み合わせを排除する。

を繰り返しました。力技ですね。

id:taknt

途中、排除したものも載せてもらえたら 思考の流れがわかりやすくなったと思います。

2008/05/05 19:59:17
  • id:taknt
    オープンは、5日か6日ごろにしようと思いますので、ゆっくり考えてください。
  • id:souju
    一つ解答が出来たので取り急ぎ書き込みましたが,唯一解かどうかの検証ができていませんでした。
    唯一解であるとの検証が終わったので,補足説明しようかと思いますが追加で書き込んでもよいでしょうか?
    >takntさま

    あまりエレガントな解法とはいいがたいので,もう少し考えてみます。
  • id:taknt
    soujuさん、もう一回 回答どうぞ。
  • id:dungeon-master
    なんか力仕事的な感じでになりましたが、結局、組合わせ表を作って解きました。
    その組合わせがなぜ解にならないか、理由をはっきりさせたかったので…
  • id:souju
    お言葉に甘えて回答しました。
    ポイントの割り振り時には両方を合算して評価していただければ結構です。
  • id:kuro-yo
    あるやり方で2回やって2回とも解がなかったので解なしで回答しましたが、
    すこしやり方を変えたら解けました。
    私も、最初の回答にはポイントいりません。
  • id:taknt
    回答へのコメントは、今夜入れようかと思います。

    解いた感想などは、コメントにどうぞ。
  • id:souju
    本質的には変わりませんが,少しだけましな方法を以下に。
    a+b+c=46
    d+e+f=28
    g+h=8
    i+j+k=46
    m+n+p=39
    d+i=30
    a+g+m=35
    e+j=19
    b+h+n=39
    c+f+k+p=44
    の条件式を適当に式変形すると,これら以外に
    d+i=30
    f+k=25
    c+p=19
    が得られます。
    既に用いている数との兼ね合い上m+n=32とはならず,そのためp=7とはならないことに注意して
    (c,p)を検討すると,(1,18),(3,16),(4,15),(15,4),(18,1)
    c,pの値が定まればa+b,m+nの値も定まるから,c,pが一定の値をとる場合に,
    (a,b),(d,i),(e,j),(g,h),(m,n)
    の各組み合わせを数え上げ,矛盾が生じないかを順に検討していく。

    私の前回の回答では6とおりを検討しているがそれよりは一番大きな分岐が少ない。
  • id:taknt
    みなさん、お疲れ様でした。

    回答してくださった方、どうもありがとうございます。

    最初の質問より やや簡単にしたため、回答が増えたのでよかったと思います。

    ちなみに 質問の問題は、最初に作ったとき、これより表出している数字がいくつか少ないものでした。
    それだと 無理そうなので 表出する数字を 増やしました。

    難問というレベルにする場合、もっと難しいほうがいいでしょうかねぇ。
    でも、考えるというかどちらかというと試行するだけだから、よくよく考えれば 解けるみたいな
    感じにしたいんですけどね。

    あ、ちなみにこの問題の回答は、みなさんが 提示したものであってますので、私の提示は 省略します。
    あと どのようにして解くのかを知りたかったので、模範解答みたいなものは ありません。
    私は、いかにしてより正確に、速く解けるとき方はないか、試行錯誤中です。
  • id:souju
    私は,コンピュータの力を借りずに解く魔法陣パズルとしては,この問題でも明らかに難問だと感じました。
    まあ,難しいか難しくないかというのは,どれくらいパズルや数学的思考に慣れているかということで大きく左右されますが。

    ちなみに前回の問題は手の付けようがない(人間の手で解けるのだろうか?)という印象がありました。
  • id:imo758
    あなたが求めたのは「どのように解いたか」であって
    「解法の完全性」や「解けたことの証明」ではなかった。

    はじめから「解法の完全性」や「解けたことの証明」を求めていれば
    それを示したであろう。
  • id:taknt
    どのように解いたかを 知りたいわけですから、それが 途中までではなく、当然最後までとなりませんか?

    最初の少しだけ 示して これで解いたといっても さっぱり わかりません。
  • id:imo758
    解や完全性の証明ではなく「どのように」を問うているので、
    枝葉的な解法まで問うているのではなく、
    注目すべき箇所での思考、そこだけを尋ねていると思いましたが。

    プログラム禁止などをみるに、人間の思考というものを
    考えるための参考として質問しているのか、と思いましたし。

    これが解法とその完全性の詳細な証明ならば、別の答え方をしたでしょう。
    既にポイントはお返ししたと思います。

    とりあえず今はここまでで失礼します。
  • id:taknt
    思考の参考のためですが、少しは参考になったよということで、10ポイントさしあげました。
    返されたのは しかたないですが・・・。

    回答になっていないという判断ならば 0ポイントになります。

    最後まで 示してもらえれば、より参考になったと思います。

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