球体の表面上の二点A,Bの位置を地球儀と同じように緯度と経度で表した場合、A点から見たB点の方角を数値で(角度で)求めるにはどのようにしたらよいでしょうか。


言い換えるならば、A点に立ってコンパスでB点への方角を調べた場合の角度、ということです。(もちろんここでは北極と北磁極のずれは考えません)

わかっているのはA点、B点それぞれの経度と緯度です。

例えば、真北を0度、真東を90度とした場合、B点がA点と同じ経度にあり位置が北にあれば0度、B点が真西にあれば270度となります。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/08/27 13:44:05
  • 終了:2009/09/02 00:15:32

ベストアンサー

id:boxeur No.2

b回答回数8ベストアンサー獲得回数32009/08/28 07:39:11

ポイント35pt

要領を得ていない,変なコメントをしていたので削除しました.

球面三角法を用いる

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/RechtwKugeldr...

上図のαを求めます.(以下ではA)

参考 球面三角法 - Wikipedia

a, b, cはそれぞれ角度であることに注意.

http://q.hatena.ne.jp/1251265139 の A, B点を用いれば(C点は北極点),

\left\{\begin{eqnarray}a&=&\frac{\pi}{4}\\b&=&\frac{5\pi}{12}\\C&=&\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\end{eqnarray}

「球面三角法の正接定理」:

\frac{\sin C}{\tan A}= \frac{\sin b}{\tan a} - \cos b \cos C

より,\tan A=\frac{sin C}{\frac{\sin b}{\tan a} - \cos b \cos C}

代入すると \tan A=sin(\frac{\pi}{6})/(\frac{\sin(\frac{5\pi}{12})}{\tan(\frac{\pi}{4})} - \cos (\frac{5\pi}{12}) \cos (\frac{\pi}{6}))

これを計算すると,

tan A=0.67405・・・

∠A=33.98・・・度

つまり北北東と北東の間,北東微北(32方位図)ですね.


一般の場合

a,b(度)=90度-北緯,C=経度の差

これをradで表して後は機械的に行けます.

ただし地球は球ではなく楕円なので,正確な値を欲するなら 測量計算(距離と方位角の計算) の利用を薦めます.

[f:id:boxeur:20090828073026j:image]


先の質問

「球面三角法の余弦定理」:\cos c=\cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C

を使うとc(∠AOB)が出ますね.

\cos c=\cos(\frac{\pi}{4}) \cos (\frac{5\pi}{12}) + \sin (\frac{\pi}{4}) \sin (\frac{5\pi}{12}) \cos (\frac{\pi}{6})

cos c=0.7745・・・

∠c=約39.24度 (先の質問の回答では∠AOB=39.2385514度でした.)

id:spin6536

再び詳しくありがとうございます。Cが、緯度の違いがあるにもかかわらず経度の差でいいというのが腑に落ちないのですが、可能でしたら説明をいただけるでしょうか。問題自体はいただいた回答で解決しましたので、ご面倒なら結構です。

2009/09/01 12:51:19

その他の回答(1件)

id:ugkuie No.1

ugkuie回答回数5ベストアンサー獲得回数02009/08/27 20:27:03

ポイント35pt

下記のページが回答を網羅していると思います。

【距離と方位角の計算】(緯度経度を入力すれば結果が出ます。)

http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/bl2stf.html

【国土地理院】(このページから上のページを検索しました。)

http://www.gsi.go.jp/

【教えてgoo!の同じような質問】(計算式の説明もあります。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1367260.html

【方角の関係に関する分かりやすい説明】(参考になると思います。)

http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/kyokumen/page112_2...

id:spin6536

ありがとうございます

2009/09/01 12:49:16
id:boxeur No.2

b回答回数8ベストアンサー獲得回数32009/08/28 07:39:11ここでベストアンサー

ポイント35pt

要領を得ていない,変なコメントをしていたので削除しました.

球面三角法を用いる

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/RechtwKugeldr...

上図のαを求めます.(以下ではA)

参考 球面三角法 - Wikipedia

a, b, cはそれぞれ角度であることに注意.

http://q.hatena.ne.jp/1251265139 の A, B点を用いれば(C点は北極点),

\left\{\begin{eqnarray}a&=&\frac{\pi}{4}\\b&=&\frac{5\pi}{12}\\C&=&\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\end{eqnarray}

「球面三角法の正接定理」:

\frac{\sin C}{\tan A}= \frac{\sin b}{\tan a} - \cos b \cos C

より,\tan A=\frac{sin C}{\frac{\sin b}{\tan a} - \cos b \cos C}

代入すると \tan A=sin(\frac{\pi}{6})/(\frac{\sin(\frac{5\pi}{12})}{\tan(\frac{\pi}{4})} - \cos (\frac{5\pi}{12}) \cos (\frac{\pi}{6}))

これを計算すると,

tan A=0.67405・・・

∠A=33.98・・・度

つまり北北東と北東の間,北東微北(32方位図)ですね.


一般の場合

a,b(度)=90度-北緯,C=経度の差

これをradで表して後は機械的に行けます.

ただし地球は球ではなく楕円なので,正確な値を欲するなら 測量計算(距離と方位角の計算) の利用を薦めます.

[f:id:boxeur:20090828073026j:image]


先の質問

「球面三角法の余弦定理」:\cos c=\cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C

を使うとc(∠AOB)が出ますね.

\cos c=\cos(\frac{\pi}{4}) \cos (\frac{5\pi}{12}) + \sin (\frac{\pi}{4}) \sin (\frac{5\pi}{12}) \cos (\frac{\pi}{6})

cos c=0.7745・・・

∠c=約39.24度 (先の質問の回答では∠AOB=39.2385514度でした.)

id:spin6536

再び詳しくありがとうございます。Cが、緯度の違いがあるにもかかわらず経度の差でいいというのが腑に落ちないのですが、可能でしたら説明をいただけるでしょうか。問題自体はいただいた回答で解決しましたので、ご面倒なら結構です。

2009/09/01 12:51:19
  • id:ita
    A:北極から東経0度線上を南に10m進んだ場所
    B:北極から東経90度線上を南に10m進んだ場所

    N--------B
    |
    |
    |
    A

    AからBを見ると北東の方向ですが、そういうのも考慮するんでしょうか。
  • id:spin6536
    質問者です。itaさんの例だとAから見てBは真東になりませんか。理解が浅いのでわたしが何か勘違いしているのかもしれませんが...
  • id:ita
    初めにコンパスが示した真東にまっすぐ歩くとこうなります
    N--------B
    |
    |
    |
    A-------------------->人

    一方一歩ごとに立ち止まってそのつどコンパスを見て真東に方向を修正
    すると円を1/4周してBに到達します。
    そういう違いです。

    たとえば東京と緯度が等しいアメリカの都市へ行く場合、
    飛行機は大円の最短距離を通るので飛行経路が北に湾曲しますよね?
  • id:ita
    おお、回答1ナイスです
  • id:spin6536
    いただいたコメントと回答を見て理解できました(おそらく)。

    itaさんの例ですと、最短距離の線(大円)が向く方角は北東になる、ということですね?
  • id:ita
    そうです!
    仮に蜃気楼でロサンゼルスが肉眼で見えたなら東北東くらいに見えます
  • id:boxeur
    少し遅れましたのでコメント欄で。

    >Cが、緯度の違いがあるにもかかわらず経度の差でいい
    いまの場合Cは北極点であることに注意してください。

    ∠Cとは直線AC, BCのなす角。
    つまり、直線ACに沿った大円と直線BCに沿った大円のおりなす角。
    Cが北極点という条件から、Cを通る大円はすべて経線。つまり、経線同士のなす角度が求める角度。

    ところで、経度って経線が何度回ったかという尺度ですよね?だから、経度の差がなす角度です。

    地球儀ないし、球体で試して見て下さい。
    適当に2点を取って、指でなぞって三角形を作る。角度って、端的に言えば「どのぐらい方向転換するか」ですからね。北極点の真上から見たなす角∠Cが、緯度を変えても変わらないことがわかるはずです。
  • id:spin6536
    boxeurさん

    なるほど、すっきり分かりました。ご親切にありがとうございます。
  • id:spin6536
    回答者の皆さま

    同様の質問をしましたので、よろしければご援助いただけるでしょうか。
    http://q.hatena.ne.jp/1252115070
  • id:spin6536
    質問者です。またまた同様の質問をしました。
    http://q.hatena.ne.jp/1252537877
    よろしければご援助ください。
  • id:spin6536
    http://q.hatena.ne.jp/1254383838

    同類の質問です。よろしければまたご援助いただけるでしょうか。

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