ＤＳＩのバッテリー」を変えようと思ってるのですが、

＞バッテリーのサイズなどはあるんですか？

DSi専用の充電池を使う必要があります
正式なものは二千円します
http://onlineshop.nintendo.co.jp/shop/item_detail?category_id=170036&item_id=580536

前回質問での回答で出ている互換品（正式品と入れ替えて使うことができる品）は
千円以下と安いのですが、それが原因でDSiが故障しても、
任天堂は保証してくれません（互換品電池を買ったお店でも多分無理）

値段の高い安いのは理由があるということで、
いきなり互換品だけを紹介するような人を信用してはいけません

それと、充電池が膨らんだ理由が充電池の劣化だけとは限りません
もしかしたら充電する仕組みのほうも傷んでいるかもしれません

自分で交換してもかまいませんが、修理に出して調べてもらったほうが安心です
まずは相談窓口から電話してみてもいいでしょう
（電話は親にやってもらいましょう）
http://www.nintendo.co.jp/n10/inquiry/servicecenter.html

＞うごメモのデータは、消えないのは分かりました

別の人の質問をみてみると、
実際にうごメモをやっている人が回答しているので、多分大丈夫でしょう
http://q.hatena.ne.jp/1322220178
回答者のプロフィール
http://www.hatena.ne.jp/hoshi-kawamu/
http://www.hatena.ne.jp/yumenaga-hikaru/