赤の他人を同居させることに、どのような法的問題が起こり得るでしょうか？

まず成年の婚姻的な同居なら同棲といわれることで、よくあることです。
また成年の非婚姻的な同居契約ならシェアハウスやシェアルーム（ｐｈａさんが有名）、までは普通に合法的なものとして認識されているようですがトラブルもみかけます。
たとえばｐｈａさんのような人だとおもって保護のつもりで同居を申し出たら全く気の合わない青年がきてしまってプログラマーとして働く様子もなく、３日～１週間で出て行ってもらったという実録かつ実名のブログがありました。（現在は削除されており私の力量では魚拓も見つかりません）
　
お金をもらうことにした場合はエアbnbなどの民泊は旅館法違反（緩和される予定はあるかも【airbnb】やっぱり民泊は許可制でしたか・・・。旅館業法、一部基準緩和！ | 民泊を始めよう！）でしょう。
そして質問文で例示されていた未成年者なら未成年者誘拐にあたる（相手が納得してもダメ？あなたも「未成年者誘拐」で逮捕されるかも - NAVER まとめ）可能性があります。
親権問題は１号でおっしゃっておられるとおり親に優先権があり、里子制度など行政を経由しているものであっても非常に調整・解決（具体的には親権を消して子供の自由意思を尊重させること）が難しいので、行政を経由しない場合、血縁もない場合は多くは警察沙汰になります。未成年の意志は、未経験というフィルタがかかっているからです。
　　
あとは、ちょっと質問とはちがいますが、居住させる行為を開始するときではなく、終了させるときに問題が発生するかもしれません。
出て行けと言っても聞かない既得権として「居住権」をもちだして主張する人が一定の数いるようですよ。
居候を法的に追い出す正しい対処法 - 弁護士ドットコム
「居住権」にはっきりした法的定義や根拠条文はなくても、「弁護士に頼まないと解決しないレベルの退去問題」は上のリンクで見る限り現実的には多数発生しているようです（ざっとタイトルだけを見た感じでは、血縁と、非血縁だが一度恋愛関係にあった他人に多いようですが、男やもめが子供をつれて親戚を頼ったら家主から子供を施設にいれるようにいわれたなどもあり、あまり親の養育がうまくいっていない家庭の場合もあるようです）。
だったら揉めない契約をしておけばよいとなります。たしかに個人には契約の自由があり、口約束でも契約が一応成立するのですが、細かいところを１００％契約しておくのは無理なので、最終的には「言った」「言わない」「話が違う」と押し問答になります（同棲なら始めてすぐなので気が合わなければもとの別々の住まいにもどればよいだけですが、期間が長いほうが同居の解消が面倒です）。
さらに、出ていけといえば出て行ってはくれたが、大事なものをこっそりもっていかれていた、泥棒だとして警察にうったえたら「同居中にくれるといっていたんだから泥棒じゃない！」と、古典文学のストーリーになるほどよくあることですね。
　
素朴に、相手の好意と常識に頼っていると、お互い考えていなかった部分で大変なことになるので、そこで不動産業なり、行政なりという調整のプロが成立したのだろうとおもいます。個人契約は相手の性質や身元を一から調べ上げることになり却って高額でしょう。
いばや通信　このように他人の好意をもとにして放浪～定住の生活をしている人も実際にいらっしゃいますが、人間力が未熟で保護の必要な未成年は個人契約には巻き込まず、公的な保護にまかせたほうがよいとおもいます。
　
ちょっとまとめますと、
「同居を許す」というのは、「体を許す恋愛」と、同等かそれ以上です。非常に大きな信頼を同居者に無条件に与える行為であると定義できます（居候さん側であれ、家主さん側であれ）。
自分の身を守る観点からすれば、慎重に判断すべきです。
犯罪まで至らないイザコザも多いですし、さらにそのイザコザの中で自分の被害が不合理に大きいと考えた者が警察に訴え出ればいつでも犯罪という定義に移行し得る。泥棒（窃盗）、ＤＶ、強姦、覗き、器物損壊、営業妨害、詐欺、などなど。同居していれば他人の目のない密室ですから証拠は揃わないのが普通。信頼を失えば即犯罪者になる条件が整う（お互いに弱みを相手に渡す）ことになるわけです。
一度恋愛にたとえたのでまた続けますと、たとえば二股恋愛（複数の異性と同時に恋愛を進行すること）そのものは不法行為でもなんでもないわけですが、それでも世間からは後ろ指さされます。一般的な人間はそのようなむずかしい局面でまったく不法行為をおかさないでいられるほど頭がよくできていませんし、相手次第では犯罪を形成させられる場合もあります。婚約詐欺の犯罪に陥りやすい状態といえます。それと同様です。セキュリティ情報を集めくれぐれも慎重に考えてから行動にうつすべきです。