ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑと数学の関係について教えてください｡調べても情報が整理されてなくてよくわかりません｡

ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑと数学には，深い関係があります｡
何点かに分けて解説します｡

(1)ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの基礎を理解するためには，数学的で論理的な思考が必要です｡

帰納法，再帰的，集合を使った条件の判定など，
数学の分野で学ぶ基礎事項に基づいて
処理や手続きの流れを論理的に考える｡
それがｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑです｡

たとえば，｢名簿に載っている人のﾃﾞｰﾀを年齢順に並び替える｣
というｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを考えると，
これはｿｰﾄｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑです｡

ﾊﾞﾌﾞﾙｿｰﾄやｸｲｯｸｿｰﾄなどの手続きを実行した結果，
どうして並び替えが正しく実行されるのか
ｽﾃｯﾌﾟを1つずつ追いかけて処理の流れを把握するためには，
論理的な思考が必要です｡

このような考え方は，文系の人にも理系の人にも必要です｡
(1)に限って言えば，ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑと数学に関係がある理由は
｢論理的な考え方をするから｣
と言えます｡

(2)数学そのものを深く調べるために必要なｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑもあります｡
この場合，ただ単にｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを理解するために数学が必要ということではなく，
ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの｢対象｣そのものが数学です｡

たとえば，ある数が素数かどうかを判定するｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑ，
円周率を高精度ですばやく計算できるｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑ(つまり計算の方法や手続き)
などは，
数学という研究分野を深めてゆくために利用されるｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑです｡

この場合，(1)とは異なり，数学を専門にする人たちが主に使います｡

(3)ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの性能を評価するためには，数学的なﾓﾃﾞﾙ化や計算が必要です｡

あるｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑが速いか遅いか，ﾃﾞｰﾀの使い方が効率が良いか
などを定量的に評価するためには，
そのｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑのｽﾋﾟｰﾄﾞを何らかの数学的な関数に当てはめて計算を行い，評価の結論を出します｡

たとえば数学では指数関数について学びますが，これは増加がとても速い関数です｡
なので，あるｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの実行にかかる時間が指数関数的である，と評価した場合には，
そのｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの実行にはとても時間がかかるということになります｡

ﾊﾞﾌﾞﾙｿｰﾄよりもｸｲｯｸｿｰﾄのほうが速いのはどうしてか
具体的にそのｽﾋﾟｰﾄﾞの差を計算するために，
このようなﾓﾃﾞﾙ化が必要です｡

詳しくは，計算量理論(計算複雑性理論)や，ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑのｵｰﾀﾞｰ，P≠NP問題について調べてください｡

(4)少し難しいですが，
ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑの存在を証明したり，存在しないことを証明したりする場合には，
数学でおこなうような証明の手続きを踏んで結論を出すので，
やはり数学的な考え方が必要です｡

つまり，ある複雑な計算を短時間で済ませることが可能かどうか
についてｼﾞｬｯｼﾞを下したい場合，
そのような計算の手続きつまりｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑが存在するかしないか
厳密で論理的な証明が必要になります｡

詳しくは，計算可能性理論についてお調べください｡

(5)厳密な境目はありません｡

うえで述べた事柄は，情報科学，計算機科学，数理科学，ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝなどの理工系の分野に分類されます｡

そして，すべての理工系の分野について，初歩の基礎･土台となるのが数学です｡

だから，理工系の分野に関わる以上は，
数学に全く関係のない事柄などない，と考えてください｡
｢ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑが数学的な考え方に基づいている｣というのも同じことです｡

ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑとは｢手順｣のことです

たとえば｢ﾃｽﾄの平均点を求める｣ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを考えましょう

まず，このｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを日本語で記述すると次のようになります
｢まずﾃｽﾄの点を足し合わせて合計を求めて，それから合計をﾃｽﾄの回数で割る｣

次に，このｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを数式で記述すると次のようになります
$￥frac{1}{N}￥sum_{i=1}^{N} x_i$
ただし $N$ がﾃｽﾄの回数で， $x_i$ が $i$ 回目のﾃｽﾄの点数です

このようにｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑは，日本語で記述したり，数式で記述したりできます．

つまり｢数学｣はｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを記述する｢言語｣と捉えると良いと思います．

建築､建築物､建築方法と3つの言葉を考えたとき､建築方法とにたものがｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑです｡数学は建築のようなものです｡

ｳｨｷでは､｢数学｣について､次の説明をしています｡
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6
➀ ｢数学｣は､(a)量､構造､変化､空間といったものを対象として､(b)いくつかの仮定から始めて､決められた演繹的推論を進めることで得られる (C)体系を研究する学問｣
? ｢数学､特に伝統的な純粋数学｣では､数学研究が自己目的化されており､数学への内的な興味のために研究がなされる｡このような数学ではいかに本質的な概念なり定理なりを得て､体系的な数学を構築するかが重要視されており､｢数学的対象を記述するのに適した概念や空間を定義したり､数学的事象をうまく表現した定理を得たりすること｣が数学者の主な仕事である

おなじくｳｨｷでは､
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0
｢ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑとは､数学､ｺﾝﾋﾟｭｰﾃｨﾝｸﾞ､言語学､あるいは関連する分野において､《問題を解くための手順を定式化した形で表現したもの》を言う｣