数学の質問です。微分の勉強をしている大学生の者なのですが、次の問題に頭を悩ませております(>_<)

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moon-fondu

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学習・教育

数学の質問です。微分の勉強をしている大学生の者なのですが、次の問題に頭を悩ませております(>_<)

---------------------------------------------------------------------------
問：周囲が一定の扇形の面積を最大にするには、中心角をいくらにすればよいか。
---------------------------------------------------------------------------

という、非常に完結で短い問題なのですが、教科書には「2ラジアン」という解答だけしか記載されていないので、
導き方や2ラジアンになる理由などが全然わかりません(;_;)

どうして2ラジアンになるのか教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

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1人20回まで

登録：2009/11/05 04:14:52
終了：2009/11/12 04:15:02

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

No.1

imo758121192009/11/05 05:02:47

15pt

「面積を最大」「中心角をいくらに」から

「面積を中心角で微分する問題」とあたりをつけましょう

あとは具体的な手順を探すだけです

１．周囲の長さを定数L、半径をr、中心角をθ、面積をSとおく。0≦θ≦2π

２．θを変数とする式でrを表す―式１

３．rを変数とする式でSを表す―式２

４．式２に式１を代入し、θを変数とする式でSを表す―式３

５．式３の両辺をθで微分して、dS/dθを求める

６．dS/dθ=0となるθ1、θ2、θ3...を求める

７．式３のθにθ1、θ2、θ3...と、0、2πを代入

他に特異点が生じていればその周辺も調べ、Sを最大とするθを選ぶ

dS/dθは(θの二次式)/(θの四次式)になります

そのものずばりを書いてもいいのですが…頑張ってください

高校の時以来、数学に触れていなかったもので、扇型の弧長とか面積の公式さえ忘れていました・・・。

imo758さんや他の方の回答、

扇形の面積の求め方

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/a_k15.htm

弧度法の基礎

http://yosshy.sansu.org/radian.htm

円周率と弧度法

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/nakamura/jyugyo/index.htm

等を参考にして、「５.」までは到達できたのですが、θの微分で躓いています(;_;)

2009/11/06 05:58:24

No.2

なぽりん49069102009/11/05 08:39:35

15pt

周囲が一定ということは半径はかわるです。周囲一定のとき扇形の半径は中心角の関数です。中心角をγラジアンとする

周囲Ａ＝ｒ＋ｒ＋２ｒπ＊γ／２π＝２ｒ（１＋γ／2）をとくとr＝Ａ／２（１＋γ／２）、これを面積式に代入。

面積Ｓ＝πｒ二乗＊（γ／２π）＝ｒ二乗＊γ／２です。１／（１＋γ／2）をＧとおいてといていく。Ａが定数だからＧのたんなる二次関数になって、Ｇが１／２であるときに極大です。あとはＧ＝１／２を解くだけ。

すいません、理解力が乏しく、返信が遅くなってしましました<m(__)m>

２ｒπ＊y／２πは、弧長の長さですね。Ａを面積式に代入してみました。

Ｓ＝ｒ^2・ｙ/２

＝Ａ／｛２（１＋ｙ／２）｝^2・ｙ／２

　＝Ａ／４（１＋ｙ／２）^2・ｙ／２

　＝Ａ／４・１／（１＋ｙ／２）^2・ｙ／２

　＝（１／１＋ｙ／２）^2・Ａ／４・ｙ／２

ここで、NAPORINさんがおっしゃるように、１／（１＋ｙ／２）をＧと置いてみたのですが、

　＝Ｇ^2・Ａ／４・ｙ／２

となり、ここで「えっ？」と思ってしまいました(>_<)

Ｇの二次関数だとは思うのですが、ｙラジアンも変数ですし、ここから一体、どうすれば「Ｇは１／２のときに極大！」と、判断できるのでしょうか？

たびたびすいません。

2009/11/07 11:13:18

No.3

鈍音符5202009/11/05 09:36:12

14pt

丁寧に説明するとかえって身に付かないので計算過程は省略します。

まず扇形の角を x とおき、扇形の面積を f(x) とおきます。半径を ax とおくと弧の長さは ax² になります。周囲の長さを b とおくと

ax²+2ax=b …(1)

になります。次に扇形の面積を求め(1)を代入します。これを x で微分して

^df/_dx=0

の解を求めます(途中でまた等式(1)を使い b を消します/これは f(x) が極値をとる x を求めているのです)。最後に求めた解が適切なものか確認します。

確かに、半径をaxとすると、

2axπ・x/2π

=ax^2

が出てきました！

扇型の面積は、「1/2×半径の2乗×ラジアン」あるいは「1/2×半径×弧長」らしい

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1023021...

ので、

f(x)=(1/2)ax^2x

もしくは、

f(x)=(1/2)ax・ax^2

に、bを代入すると。

f(x)

=(1/2)ax(b-2ax)

=(1/2)axb-(ax)^2

=(1/2)ax(ax^2+2ax)-(ax)^2

=(1/2)a^2x^3+a^2x^2-a^2x^2

=(1/2)a^2x^3

df/dx

=(1/2)a^2lim[Δx→0](x+Δx)^3-x^3/Δx

=(1/2)a^2lim[Δx→0]x^3+3x^2Δx+3xΔx^2-x^3/Δx

=(1/2)a^2lim[Δx→0]3x^2+xΔx

=(1/2)a^2・3x^2

が、求まったのですが・・・ここから、どうすれば2ラジアンという解答を導けるのでしょうか？

すいません、もう1度ヒントをお願いします(>_<)

2009/11/07 12:38:06

No.4

suizei102009/11/05 11:19:41

14pt

半径：r

中心角：θ (rad)

弧の長さ：L = rθ

周辺の長さ：S = L + 2r = (2 + θ) r

扇形の面積：A = 1/2 r^2 θ ...eq.1

周辺の長さの式から

r = S / (2 + θ)　(S:定数) ...eq.2

面積最大なので

dA/dθ = 0 (dは偏微分の記号)

eq.2をeq.1に代入して

dA/dθ = d{1/2 x S^2/(2 + θ)^2 x θ}/dθ

= s^2/2 {1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3} = 0

1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3 = 0

(2 + θ) - 2θ = 0

2 - θ = 0

∴ θ = 2

回答ありがとうございます！

でもすいません、途中までは理解できたのですが、

d{1/2 x S^2/(2 + θ)^2 x θ}/dθ

= s^2/2 {1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3} = 0

という箇所がよくわかりません(>_<)

dA/dθというのは、「Aをθで微分する」という意味だと思うのですが、そのAを微分しようと試みたところ、

A=1/2 r^2 θ

=1/2・(s/2＋θ)^2・θ

ここでわからなくなってしまいました・・・。

1/2は係数なので無視できると思うのですが、「(s/2＋θ)^2・θ」の微分は、

どうすればできるのでしょうか？

すいません、お気が向かれましたら、再度ご回答よろしくお願いします<m(__)m>

2009/11/06 04:38:07

No.5

rsc45044372009/11/05 11:29:19

14pt

　扇形の中心角をｘ[rad]、半径をy、周囲の長さをL、面積をSとすると、

(周囲の長さL)＝(弧の長さ)＋2×(半径)

xy＋2y=L=Const.・・・①

S=xy^2/2・・・②

①から、

xy=L-2y・・・③

これを②に代入して、

S=y(L-2y)/2=(L/2)y-y^2・・・④

dS/dy=(L/2)-2y=0

∴y=L/4・・・⑤

④はy-Sグラフで、上に凸の放物線だから、このとき、極大。

また、⑤を③に代入して、

x(L/4)=L-2(L/4)

∴Lx=4L-2L=2L

∴x=2

　よって、x=2[rad]のとき、最大値をとる。

(別解)

xy＋2y=L=Const.・・・①

S=xy^2/2・・・②

　ラグランジュの未定乗数法から、λ:ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭの乗数として、

F=(xy^2/2)+λ(xy+2y-L)とおけば、

Fx=(y^2/2)+λ(y)=0

Fy=(x/2)2y+λ(x+2)=0

∴

y^2+λ(2y)=0・・・③

xy+λ(x+2)=0・・・④

③,④から、λを消去すれば、

|y^2	2y	|＝0
|xy	x+2	|
∴
|y	2	|y＝0
|xy	x+2	|
∴
|1	2	|y^2＝0
|x	x+2	|

y≠0より、

x+2=2x

∴x=2

※参考URL

●数学の公式集 No.003 幾何図形扇形の面積と円弧の長さ

http://www.lancemore.jp/mathematics/math_003.html

●ラグランジュの乗数

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.html

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~moriya/moriya-ca1050207.pdf

S=y(L-2y)/2=(L/2)y-y^2・・・④

で一瞬、躓きましたが、

y(L-2y)/2

=yL-2y^2/2

=(L/2)y-y^2

と、ただ普通に展開すればいいんですよね、はぁ～こんな所で「えっ？」と思う自分が情けないです(汗)

「ラグランジュの未定乗数法」と呼ばれる得体の知れない方法は、rsc96074さんが紹介してくださったリンクを参照しても、

さっぱり理解できませんでした(;_;)

これで解決!大学数学ラグランジュの未定乗数法の巻 1.2.1

http://download.goo.ne.jp/software/contents/soft/win95/edu/se443...

と呼ばれるものをチラっと見てみたのですが、どうやら「偏微分」の知識が必要みたいで。

もう少し微分を勉強してから、ラグランジュに取り組みたいと思います。

どうもありがとうございました！

2009/11/06 05:28:53

No.6

yo-kun220302009/11/05 12:40:07

14pt

弧長ではなく周囲が一定ですね。

中心角をθ、半径をrとし、弧長をLとすると

L=rθ

です。

ということは扇形の周囲はrθ+2rです。

これが一定なので定数Cとしましょう。

つまり

C=rθ+2r

となります。

すると扇形の面積Sは

$S=\frac{1}{2}L\theta=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{C^2\theta}{2(\theta+2)^2}=\frac{C^2\theta}{2\theta^2+8\theta+8}$

となります。

普通はこれをθで微分して極値となるθを求めてその極値が最大値であることを確かめます。

しかし有理関数の微分は地味に面倒です。

分母と分子をθで割れば

$S=\frac{C^2}{2\theta+8/\theta+8}$

となりますので分母が最小の時、面積は最大になることがわかります。

相加相乗平均の不等式より

$(2\theta)(8/\theta) \le 2\theta + 8/\theta$

つまり

$16 \le 2\theta + 8/\theta$

ですから

$24 \le 2\theta + 8/\theta + 8$

となり、分母の最小値は24です。

最小となる等式が成り立つのは

$2\theta=8/\theta$

の時ですからθが2のとき面積が最大になります。

相加平均と相乗平均について勉強していたので返信が遅くなりました、すいません(>_<)

ココ↓

http://www.2960fukurou.co.jp/e_semi/e-semi11201.html

を参考にすると、相加平均と相乗平均には、

a＋b≧2√ab

という関係が成り立つことがわかりました。

ただ、yo-kunさんが書いてくださった、

(2θ)(8/θ)≦2θ＋8/θ

は、いったいどれをaに、どれをbとして想定して導いたのかが、わからないのです(;_;)

初歩的な質問ですいません、yo-kunさんが書いてくださった解答の中で、

相加平均・相乗平均の関係式のaとbに相当する値は、何なのでしょうか？

2009/11/07 14:06:21

No.7

btr77102009/11/05 14:38:16

14pt

同様の質問の回答を参考にして下さい。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa308848.html

類題ありがとうございます！

2009/11/07 14:07:13

No.8

imo758121192009/11/06 14:29:24

14pt

$S = \frac{L^2\theta}{2(\theta+2)^2}$

ここで商の微分は（参考：http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math/quotderiv.htm）

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$

ですから $f$ に $L^2\theta$ 、 $g$ に $2(\theta+2)^2$ を代入して...

ひとまずここまでにしておきます。またわからなければどうぞ。

ありがとうございます。

imo758さんの回答を参考に、θでの微分を試みました。

f=L^2θ

f´=L^2

g=2(θ+2)^2

=2(θ^2+4θ+4)

=2θ^2+8θ+8

g´=4θ+8

(f/g)´=L^2・(2θ^2+8θ+8) - L^2θ・(4θ+8) / ｛2(θ+2)^2｝^2

=L^2・(2θ^2+8θ+8) - L^2θ・(4θ+8) / (2θ^2+8θ+8)^2

度々すいません。

ここでずっと時間が止まっています(;_;)

ここからどう式を展開させて2ラジアンを導くのか、再度回答していただけないでしょうか？

ほんとすいません<m(__)m>

2009/11/07 18:38:24

No.9

yo-kun220302009/11/07 14:54:01

14pt

すみません。

相加相乗平均より～以降間違っています。

-------------------------------------------------------------------------------

相加相乗平均の不等式より

$2\sqrt{(2\theta)(8/\theta)} \le 2\theta + 8/\theta$

つまり

$8 \le 2\theta + 8/\theta$

ですから

$16 \le 2\theta + 8/\theta + 8$

となり、分母の最小値は16です。

-------------------------------------------------------------------------------

が正しい記述です。

ここで、相加相乗平均の不等式においてa=2θ,b=8/θとして当てはめています。

混乱させてしまい申し訳ありません。

なるほどです！

分母「2θ+8/θ+8」を最小にするには、相加相乗平均の関係式で出てきた「8≦2θ+8/θ」の両辺に8を加えれば、右辺は分母に、左辺は16になって、θが2であることが判明しますね！

2度もご回答していただき、本当にありがとうございました<m(__)m>

2009/11/07 19:41:36

No.11

imo758121192009/11/09 07:36:12

14pt

0≦θ≦2ということで、θが2の時、Sは最大値を取ると。

細かいことですが、 $\theta$ の最大値は $2$ ではなく $2\pi$ です。あと今ようやく気づいたのですが、この問題は円は扇形に含めない流儀での話でした。よって $0 \leq \theta \lt 2\pi$ で考えなければいけません。拙筆回答1番の誤りを謝罪し訂正致します。

「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」というのは、四次関数ですよね？

細かいことですが、それ全体としては有理関数であり、四次関数ではありません。ただしその分母だけならば四次関数であり、分子だけならば二次関数です。

ということは、θの解は4つ出てきて、θ=2以外の3つの解が、ds/dθを最大にする極大値を取らないことを証明しなければいけないような気がします。

恐らく分母の根のことを気にされていると思います。ですが、 $(2\theta^2+8\theta+8)^2 = 4(\theta+2)^4$ と纏まるので、根は $\theta=-2$ の四重根となります。つまり $4(\theta+2)^4 = 0 \Rightarrow \theta = -2,-2,-2,-2$ です。しかしこれは…もうお分かりですね。蛇足ですが、これは拙筆回答8番へのmoon-fonduさんのお返事の中にある、もともと $\left{2(\theta+2)^2\right}^2$ だった部分です。ここは展開せずそのままのほうがよかったのです。

変な質問してすいません、分母だけに目がいってました。

私の疑問を1つ1つ、真剣に回答していただき本当にありがとうございます(^_^;)

2009/11/10 05:48:14

No.12

鈍音符5202009/11/09 07:47:41

14pt

3番目の回答者です

kamikunさんのコメントの通り、半径をaxと置くのは間違っていました。済みません。

まず扇形の角を x (≧0) とおき、扇形の面積を f(x) とおきます。半径を r(x) とおくと弧の長さは xr(x) になります。周囲の長さを b とおくと

xr(x)+2xr(x)=b …(1)

になります。次に扇形の面積を求め(1)を代入します。これを x で微分して

f'(x)=0

の解を求めます。これは f(x) が極値をとる x を求めているのです。最後に f''(2)<0 でグラフが上に凸になることを確認します。

すいません、うまくいかない感じです・・・(ToT)

周囲の長さbは、rsc96074さんの回答を参考にすると、半径r(x)×2と、弧長xr(x)を合わせたものということで、

xr(x)+2r(x)=b …(1)

になると思うのですが、axと置いた時と同じように計算を進めようとすると、

扇型の面積 = 1/2×半径×弧長

f(x) = 1/2×2r×xr

= xr^2

= (b - 2xr)^2 　(∵xr = b - 2xr)

=b^2 - 4xrb + 4x^2r^2

=4x^2r^2 - 4xrb + b^2

=4r^2x^2 - 4rbx + b^2

df/dx

=lim[Δx→0]4r^2(x + Δx)^2 - 4r^2x^2/Δx - 4rb + b^2

=lim[Δx→0]4r^2(x^2 + 2xΔx + Δx^2) - 4r^2x^2/Δx - 4rb + b^2

=lim[Δx→0]4r^2x^2 + 8r^2xΔx + 4r^2Δx^2 - 4r^2x^2/Δx - 4rb + b^2

=lim[Δx→0]8r^2xΔx + 4r^2Δx^2/Δx - 4rb + b^2

=lim[Δx→0](8r^2x + 4r^2Δx) - 4rb + b^2

=8r^2x - 4rb + b^2

8r^2x - 4r(xr + 2r) + (xr + 2r)^2

=8r^2x - 4r^2x - 8r^2 + x^2r^2 + 4r^2x + 4r^2

=x^2r^2 + 8r^2x - 4r^2

=r^2(x^2 + 8x -4)

となり・・・f'(x)=0 を求めるのであれば、二次方程式「x^2 + 8x -4」の解を出せばいいと思うのですが、これは因数分解できるのでしょうか？

どこかで計算を間違ってるかもしれないのですが・・・何度やってもこの結果が出てきてしまいます(ToT)

解はいったい何なのでしょうか？

2009/11/11 02:30:00

dungeon-master 2009/11/06 13:15:58

（１）扇形の面積は　半径×円弧の長さ/2　に等しく、これは縦横が「半径」と「円弧の長さ/2」の長方形の面積と同じ。
（２）周囲が一定の長さで面積が最大となる長方形は正方形なので、縦=横、つまり扇形になおすと　円弧の長さ＝半径×２　のとき。
（３）円弧の長さが２ｒの扇形の中心角は、ラジアンで表すと２。（円であれば円周は２πｒで、中心角は２πラジアン）
というわけで、これの（２）を微分で確かめる問題。（２）の段階ではｒで微分するのが楽。
鈍音符 2009/11/07 14:24:03

3番目の回答者です。
周囲の長さ b を消すのを微分した後にしたら解けました。

あと余計なお世話かもしれませんが大学に通っているのであれば友人に頼るのも一つの手段かと思います。
rsc 2009/11/07 16:51:29

　分数がなるべく出てこないように、ちょっと、書き直してみました。
xy+2y=L=Const.・・・①
S=(xy^2)/2・・・②

　後で、分数がなるべく出てこないようにL=4Cとおくと、
xy+2y=L=4C・・・③
③から、
xy=4C-2y=2(2C-y)・・・④
これを②に代入して、
S=(xy)(y/2)=2(2C-y)(y/2)=y(2C-y)=2Cy-y^2
　極値を与えるyを求めるために、Sをyで微分すると、
dS/dy=2C-2y=2(C-y)=0
∴y=C・・・⑤
③から、y(x+2)=4C
∴C(x+2)=4C
C≠0より、
∴x+2=4
∴x=2
　ちなみに、x=2, y=C=L/4のとき、②から、
S=(2)(C^2)/2=C^2=(L/4)^2=(L^2)/16
moon-fondu 2009/11/07 19:32:04

＞dungeon-masterさん
扇型の公式は、今回の質問で復習できました！
http://questionbox.jp.msn.com/qa4058132.html
「円弧の長さ＝半径×２」のとき最大と、長方形からそれを思いつくところがすごいですね・・・全然頭に浮かびませんでした。

＞nibompさん
微分してからbを元に戻すのですね！？
f(x)=(1/2)axb-(ax)^2
df/dx
=(1/2)ab-2a^2x
b=ax^2+2axなので、
=(1/2)a(ax^2+2ax)-2a^2x
=a^2x^2+a^2x-2a^2x
=a^2x^2-a^2x

が、出てきました(;_;)
ここからどうすれば、2ラジアンにたどり着けるのでしょうか？
すいません、通信制の大学だからでしょうか、私自身のせいでしょうか、友達がいないのです(ToT)

＞rsc96074さん
はぁ、ほんとすごいですね、分数が出てこないように逆算して「L=4Cとおく」なんて・・・私もいつかその境地に達したいです(^_^;)
鈍音符 2009/11/07 20:41:45

> すいません、通信制の大学だからでしょうか、私自身のせいでしょうか、友達がいないのです(ToT)
そういうことでしたか、私の考えが至らず謝るべきは私の方です。申し訳ございません。

2009-11-07 19:32:04 での計算には間違いがあるようです。
moon-fondu 2009/11/08 15:44:41

＞nibompさん
計算間違いしておりました(>_<)

df/dx
=(1/2)a^2x^2-a^2x
=(1/2)a^2x(x-2)

ですね！

df/dx=0の時、x=2。
よって、中心角が2ラジアンの時、扇型の面積は最大になる。

と、こんな感じの結論で大丈夫でしょうか？
nibompさんがおっしゃっている「最後に求めた解が適切なものか確認」する作業というのを、してないような気がするのですが・・・x=2が出てきた後、何かもう一つ作業が必要なのでしょうか？
度々すいません<m(__)m>
鈍音符 2009/11/08 18:08:58

df/dx=0 となるxはあくまでf(x)の極値であって、求めている角度とは限りません。厳密には、 x=0, 2 です。 x=0 が最大値ではなく(とは言っても自明ですが)、 x=2 が最大値となることを示す必要があります。
kamikun 2009/11/08 20:24:34

半径は中心角に比例するわけではないので、axとおくのはまずくないですか？
suizei 2009/11/08 23:21:14

周辺の長さ：S = L + 2r = (2 + θ) r ...eq.0
扇形の面積：A = 1/2 r^2 θ ...eq.1
周辺の長さの式から(eq.0を変形)
r = S / (2 + θ)　(S:定数) ...eq.2

eq.2をeq.1に代入して、
A = 1/2 r^2 θ = 1/2 {S/(2 + θ)}^2 x θ ...eq.3

面積最大なので
dA/dθ = 0 (dは偏微分の記号)

eq.3を下記の公式でθについて偏微分する

公式：{f(x)g(x)}' = f(x)' g(x) + f(x) g(x)'

eq.3で
f(x) = θ
g(x) = {S/(2 + θ)}^2
として計算する

以下、略
moon-fondu 2009/11/10 05:16:35

＞nibompさん、kamikunさん
真剣に考えていただき、本当にありがとうございます<m(__)m>

＞suizeiさん
再度回答いただきありがとうございます。
{f(x)g(x)}'= f(x)' g(x) + f(x) g(x)' を求めればよいということで、まずは f(x)'とg(x)'を求めることにしました。

f(x) = θ
g(x) = (S/2 + θ)^2

なので、

f(x)'=1

で、g(x)'というのは、どう微分していいのかずっと悩んでいたところ、分数関数の微分の公式↓
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan.cgi?target=/math/category/bibun/keisan/diff-frac(1)(g).html
を使えば上手くいくと思い、

g(x)'={(S/2 + θ)^2}'
=S^2{(1/2 + θ)^2}' (←θで微分するので、Sは係数として前に出してもいいと考えました。)
=S^2{ - 1/(2 + θ)^2} (←分数関数の微分の公式 {1/g(x)}’= - g'(x)/g(x)^2} を使いました。)

f(x)'とg(x)'が求まったので、f(x)' g(x) + f(x) g(x)'を計算しようと試みました。
すると・・・

f(x)' g(x) + f(x) g(x)'
=1・(S/2 + θ)^2 + θ・S^2{ - 1/(2 + θ)^2}
=S^2(1/2 + θ)^2 + θ・S^2{ - 1/(2 + θ)^2}
=S^2{(1/2 + θ)^2 - θ・(1/2 + θ)^2}
=S^2{(1 - θ)(1/2 + θ)^2}

dA/dθ =S^2/2{(1 - θ)(1/2 + θ)^2}

という式に至り、dA/dθ=0の時は、θ=1,-2　となるような答えが出てきました。
この解間違ってますよね・・・どこかで計算ミスしてるのだと思います(>_<)

はぁ、ほんといいかげん理解しなさいって感じなのですが、もう1回お助けいただければ幸いです、よろしくお願いします(;_;)
kamikun 2009/11/10 13:33:00

分数関数の微分の公式のg(x)にあたるのは (2+θ)^2 であって 2+θ ではありません。

合成関数の微分法
(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)
とくに、({g(x)}^n)'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

これを使いましょう。

あと、大丈夫とは思いますが、{f(x)}^(-n)=1/{f(x)}^n です。
分数関数の微分の公式を暗記しなくても、簡単に導出できることがわかりますね。

0<θ<2で微分係数が正
θ=2で微分係数が0
2<θ<2πで微分係数が負
よってθ=2で極大かつ最大。
suizei 2009/11/10 22:42:58

公式：{f(x)g(x)}' = f(x)' g(x) + f(x) g(x)'

f(θ) = θ
g(θ) = {S/(2 + θ)}^2

g(θ)を整理すると、
g(θ) = {S/(2 + θ)}^2 = S^2 / (2 + θ)^2 = S^2 x (2 + θ)^(-2)

よって、
f(θ)' = 1
g(θ)' = S^2 x {(-2) x (2 + θ)^(-3)} = -2 x S^2 x (2 + θ)^(-3)
= -2 x S^2 / (2 + θ)^3 ...eq.A

以下略

【別解】{1/g(x)}’= - g'(x)/g(x)^2 を使う場合
g(θ) = (2 + θ)^2 とすると、（S^2は定数として括弧から出す）
g(θ)' = 2 x (2 + θ)
よって、
{1/g(θ)}’= - g'(θ)/g(θ)^2
= - 2 x (2 + θ) / (2 + θ)^4 = - 2 / (2 + θ)^3 ...eq.B

eq.Bに定数S^2を乗じるとeq.Aに等しい
moon-fondu 2009/11/11 04:44:36

＞nibompさん
すいません、12番の回答なのですが、私が計算間違いしていました(>_<)
f(x) = 1/2×2r×xr
= xr^2
= (b - 2r)r 　(∵xr = b - 2r)
= -2r^2 + b

でした。
ただこれはxで微分することはできないので、「bを元に戻して微分するのかな？」と思い試したところ、

f(x) = -2r^2 + b
　　 = -2r^2 + xr + 2r

df/dx = r

となってしまうのです(>_<)
はぁ、しつこくてすいません、どこで私は道を誤ったのでしょうか(ToT)？

＞suizeiさん
再三の回答ありがとうございます！いや～次数をマイナスにすることで分数を回避するなんて思いつきませんでした(^_^;)

でも情けないことに、また躓いてしまいました(ToT)

f(x)' g(x) + f(x) g(x)'
=1・S^2(2 + θ)^-2 + θ・-2S^2(2 + θ)^-3
=S^2(2 + θ)^-2 + θ{-2S^2(2 + θ)^-3}
=S^2(2 + θ)^-2 - θ・2S^2(2 + θ)^-3
=S^2(2 + θ)^-2{1 - θ(2 + θ)^-1}

という、何がなんだかよくわからない式が出てきたのです(>_<)

dA/dθ = 0 になる時、θ = -2 だと思うのですが、-2は、解答の2ラジアンとは違うみたいで・・・また私の計算が間違ってるかもです(ToT)
間違いがありましたら、指摘していただければ幸いです。
度々すいません。

＞kamikunさん
ご指摘ありがとうございます！いやはや、分数関数の微分公式を全然使いこなせてないですね(汗)

A = 1/2{S/(2 + θ)}^2 x θ
　= 1/2{S^2/(2 + θ)^2}θ
　= 1/2・S^2{1/(2 + θ)^2}θ
　= 1/2・S^2{θ/(2 + θ)^2}

なので、「θ/(2 + θ)^2」を、合成関数として微分すればいいのですね？

f(x)=θ、g(x)=(2 + θ)^2ということで、公式↓
http://www.ies.co.jp/LoveMath/2ji_test/gobib_j/rule_j.html
にあてはめてみますと、

dA/dθ
=dθ/θ・d(2 + θ)^2/θ
=1・2(2 + θ)^3

と、望んでない値が出てきてしましました・・・これだと、dA/dθ=0のとき、θ=-2になってしまいます(ToT)

ほんと皆さんに何度も何度も聞いて申し訳ないです。

私の計算はどこで、間違っているのでしょうか？
kamikun 2009/11/11 06:52:38

＞「θ/(2 + θ)^2」を、合成関数として微分すればいいのですね？

そうでなくて、f(θ)=θ、g(θ)=(2 + θ)^-2で、
{f(θ)g(θ)}'=f'(θ)g(θ)+f(θ)g'(θ)を計算しようとするとg'(θ)を求める必要がありますよね。
ここで({h(θ)}^n)'=n{h(θ)}^(n-1) h'(θ)を使うわけです（g(θ)と混同しないようhにしました）。
この場合、h(θ)=2+θ、n=-2ですね。

最後は(2+θ)^3で通分（分母を(2+θ)^3にしてまとめる）。
suizei 2009/11/11 10:08:51

公式：{f(x)g(x)}' = f(x)' g(x) + f(x) g(x)'

f(θ) = θ
g(θ) = {S/(2 + θ)}^2
f(θ)' = 1
g(θ)' = -2 x S^2 / (2 + θ)^3

{f(θ)g(θ)}' = f(θ)' g(θ) + f(θ) g(θ)'
= {1} x {S/(2 + θ)}^2 + {θ} x {-2 x S^2 / (2 + θ)^3}
= S^2 / (2 + θ)^2 - 2 x S^2 x θ / (2 + θ)^3
= S^2 x {1 / (2 + θ)^2 - 2 x θ / (2 + θ)^3}

{f(θ)g(θ)} = 0 とすると、
S^2 x {1 / (2 + θ)^2 - 2 x θ / (2 + θ)^3} = 0
1 / (2 + θ)^2 - 2 x θ / (2 + θ)^3 = 0
1 / (2 + θ)^2 = 2 x θ / (2 + θ)^3
(2 + θ) = 2 x θ
∴ θ = 2

この解放では、分母に(2 + θ)が出てきますので、
θ = -2
はあり得ません（分母が0になる）
dungeon-master 2009/11/11 17:33:01

議論に割り込むようで申し訳ありませんが、
コメント１で「rで微分すると楽」と書いた点について解説しておきます。

半径r（可変）、周囲L（固定）、扇形の中心角θ（可変）、扇形の面積S（可変）　とおきます。
半径rで中心角θ（ラジアン）の扇形の円弧の長さは　θr　と表せます。（ちなみに円のときはθ=2πなので、円周2πr）
扇形の面積Sは、S=θ×r^2×1/2 。
扇形の周囲Lは　　円弧の長さ＋半径＋半径、つまり　L=θr＋2r

周囲Lの式をもとに θをrで表すと、
　L =θr+2r　→　 L/r=θ+2　→ θ=L/r+2
扇形の面積Sの式のθに上式を代入すると（θで扱うよりrで扱う方が、分数部分の分母がシンプルだから）
　S =(L/r-2)r^2・1/2
　 =Lr/2-r^2　
Sはrの2次方程です。
r^2の係数が負なので、上に凸の放物線グラフであることからSは極大値を1つ持つことがわかります。

Sが極大になるrを求めるために、Sの式をrで微分。
　　S =Lr/2-r^2
　　S'=L/2-2r

Sの極では S'=0 なので、0=L/2-2r　と置いてみると、L=4r　となります。
(　S =(L/r-2)r^2・1/2　にL=4rを代入すると　S=r^2 、周囲が一定なら正方形で最大面積になることを示したのと同義）

L=θr＋2r　の式にL=4rを代入し、θについて解くと
4r=θr+2r
4=θ+2
θ=2
moon-fondu 2009/11/12 02:03:04

＞kamikunさん
kamikunさんのおかげで、うまくいきました！

{f(θ)g(θ)}'
=1・(2＋θ)^-2＋θ・-2(2＋θ)^-3・1
=1/(2＋θ)^2＋(-2θ)/(2＋θ)^3
=(2＋θ) - 2θ/(2＋θ)^3
=2 - θ/(2＋θ)^3

となり、θ=2が出てきました(^_^;)
あとは、kamikunさんの、

0<θ<2で微分係数が正
θ=2で微分係数が0
2<θ<2πで微分係数が負
よって、θ=2で極大かつ最大。

という結論付けでOKですね！
いや～ありがとうございます。

ただ、新たな疑問が生じてしまいまして・・・新しい質問を立ち上げましたので、もしよろしければ・・・よろしくお願いします(>_<)
http://q.hatena.ne.jp/1257958874

＞suizeiさん
なるほどです、{f(θ)g(θ)}' = 0の状態から展開させればよかったのですね(^_^;)
結局、最後まで面倒見ていただいて、本当にありがとうございます<m(__)m>

＞dungeon-masterさん
ありがとうございます！θの微分に苦しんでいる私を見かね、救いの手をさしのべてくれたのですね(;_;)
「ｒで微分するのが楽」というお言葉を活かしきれずすいません・・・(汗)

しかも、解説すごくわかりやすいです！

でも1箇所だけ、疑問が残りまして・・・Sの式をrで微分する際、

S =Lr/2-r^2
S'=L/2-2r

となっているのですが、「Lr/2-r^2」は、微分する関数が「商」の形になっているので、商の微分法を使わなければならない↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2300599.html
のではないでしょうか？

と、疑問に思い、

f(r)=Lr
g(r)=2-r^2

として、公式↓
http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/3bibun.html
に当てはめ、計算してみたところ、

(Lr/2-r^2)'
= L・(2-r^2) - Lr・(-2r)/(2-r)^2
= 2L - Lr^2 - 2Lr^2/(2-r)^2
= 2L - 3Lr^2/(2-r)^2

と、dungeon-masterさんが書いてくださったに「L/2-2r」に、至らないのです(;_;)
申し訳ないのですが、

S =Lr/2-r^2
S'=L/2-2r

の間にある式の展開に関して、再度、ご回答いただけないでしょうか？
ほんとすいません(>_<)
kamikun 2009/11/12 03:19:01

＞「Lr/2-r^2」は、微分する関数が「商」の形になっているので

いえ、Lr/2 - r^2 であって、Lr/(2-r^2) ではありません。
鈍音符 2009/11/12 19:16:05

12番目の回答についてですが、どうやら微分する前にr(x)を消すようにしないと上手くいかないようです。あと、扇形の面積を求める際の半径が違うと思うのですが。
あと、3番目の回答で得たポイントは返還します。
moon-fondu 2009/11/13 01:46:29

＞kamikun
すいませんうっかりしてました、dungeon-masterさんの回答をちゃんと読んでなかったです(>_<)
Lr/2 - r^2=(1/2)Lr - r^2 ってことですよね(^_^;)

＞nibompさん
12番目の回答は私の間違いです。「2009-11-11 04:44:36」のコメントで、修正致しました(^_^;)
またまた計算間違いがありましたので、修正を。

f(x) = 1/2×2r×xr
= xr^2
= (b - 2r)r 　(∵xr = b - 2r)
= -2r^2 + br

これはxで微分することはできないので、「bを元に戻して微分するのかな？」と思ったんですよね、

f(x) = -2r^2 + br
　　 = -2r^2 + (xr + 2r)r
= -2r^2 + xr^2 + 2r^2
= xr^2

まあ、振り出しに戻るだけですよね・・・
rを消すには、「b=xr + 2r」をどうにかするしかないですよね？
変形すると、「b/x+2 = r」なので、rを消した状態での微分を試みました。

f(x)
= x(b/x+2)^2
=xb^2/(x+2)^2

商の関数なので、商の微分公式を。
df/dx
=b^2・(x+2)^2 - xb^2・2(x+2) / {(x+2)^2}^2
※kamikunさんから教えていただいた「({g(x)}^n)'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)」を使用。
=b^2(x+2){(x+2) - 2x} / (x+2)^4
=b^2(x+2)(2-x) / (x+2)^4
=b^2(2-x) / (x+2)^3

bを元に戻すと、

=(xr+2r)^2(2-x) / (x+2)^3
=x^2r^2 + 4xr^2 + 4r^2(2-x) / (x+2)^3
=r^2(x^2 + 4x + 4)(2-x) / (x+2)^3
=r^2(x+2)^2(2-x) / (x+2)^3
=r^2(2-x) / x+2

となるので、f'(x)=0のとき、x=2、x=-2の解を得る。

といった感じなのですが、ここから最後の仕上げをどうするかが問題ですよね(>_<)

12番目の回答で、nibompさんは「最後に f''(2)<0 でグラフが上に凸になることを確認します」と教えてくださったのですが、「r^2(2-x) / x+2」みたいな複雑な関数のグラフを描くのは大変ですので、もっと別の方法で、f(x)=-2ではなく、f(x)=2のとき極値を取ることを示したいのですが、どういう風に示せばよいのでしょうか？

imo758さんの11番目の回答を参考に、「0<x<2π」なので、x=2のとき、すなわち中心角が2ラジアンのとき、扇型の面積は最大になる。

・・・といった結論付けで、問題ないでしょうか？
鈍音符 2009/11/13 21:32:53

12番目の回答が少々紛らわしかったですね。
「f''(2)<0 を示すこと」＝「f(x) のグラフが x=2 で上に凸になること」です。
moon-fondu 2009/11/15 13:21:33

はぁ、すいません、f(x)のグラフが上に凸であるのか示すにはどうすればいいのか、
どうしてもわかりません(ToT)

新たな質問
http://q.hatena.ne.jp/1258258865

を立ち上げましたので、もしよろしければ、ご回答願えないでしょうか。
よろしくお願いします<m(__)m>
鈍音符 2009/11/15 16:25:59

まさか新たな質問を立ててしまうとは思いませんでした…申し訳ございません。

高校の数学IIIの教科書に
f''(x)<0 のとき、グラフは上に凸
と書いてあるはずです。

f''(x)<0 なら f'(x)は減少しています。f'(x)が減少している場合、f(x)は増加量が小さくなるので、減少量が増加するはずです。すなわちグラフは上に凸、∩などの形になるはずです。
moon-fondu 2009/11/17 02:37:51

あっ、いえいえ、こちらこそ失礼でしたか、申し訳ないです(>_<)
文系出身な者で、数Ⅲやらずに大学の微分を始めたせいか、基礎的なことも知りませんでして(汗)

使ってる教科書にありました！

●関数y=f(x)がx=aを境として増加の状態から減少の状態に変化するとき、y=f(x)はx=aにおいて極小になるといい、f(a)を極大値をいう。
逆に、y=f(x)がx=aを境として減少の状態から増加の状態に変化するとき、y=f(x)はx=aにおいて極小になるといい、f(a)を極小値という。
極大値、極小値を合わせて極値という。

●関数y=f(x)がaを含む区間で微分可能とする。このとき、
(1)f'(a)>0 ⇒ f(x)はx=aにおいて増加の状態
(2)f'(a)<0 ⇒ f(x)はx=aにおいて減少の状態

である。

と、書かれてました。ただ、x=2のとき、f'(x)=0になってしまい、しかも、

x=aで極値を取る⇒f'(a)=0

は成り立つみたいですが、

f'(a)=0⇒x=aで極値を取る

は、常にそうであるとは限らず、前後のf'(x)の正負を調べて、極大値を取るかどうかテストしなければならないそうです・・・。

f'(x)=r^2(2-x) / x+2

の場合は、

x<2のとき、f'(x)>0
x=2のとき、f'(x)=0
x>2のとき、f'(x)<0

なので、x=2のとき、極大値を取る。

こんな感じで答案を書けば、問題ないと思いました(^_^;)

いや～nibompさんの助言のおかげで、ようやく納得することができました。
最後まで付き合っていただき、ありがとうございます<m(__)m>

人力検索はてな前回の質問↓ http://q.hatena.ne.jp/12573.. 2009-11-15 13:03:19
人力検索はてな前回の質問↓ http://q.hatena.ne.jp/12573.. 2009-11-15 13:21:13

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

imo758 · Accepted Answer · 2009-11-07T19:04:28+09:00

No.10

imo758121192009/11/07 19:04:28

14pt

単に変数を纏めるだけです。

$\frac{L^2(2\theta+8\theta+8)-L^2\theta(4\theta+8)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta^2+4\theta+4-2\theta^2-4\theta)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(-\theta^2+4)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta+2)(-\theta+2)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2}$

ここまできたら、最初の回答の６番に戻れます。

ありがとうございます！

ここまで展開していただければ、dS/dθ=0となるθが「2」と「-2」であることがわかりました(^_^;)

0≦θ≦2ということで、θが2の時、Sは最大値を取ると。

よって、中心角が2ラジアンの時、扇型の面積は最大になる。

・・・すいません、何か自分の結論付けに違和感を感じるのですが、正しいでしょうか？

「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」というのは、四次関数ですよね？

ということは、θの解は4つ出てきて、θ=2以外の3つの解が、ds/dθを最大にする極大値を取らないことを証明しなければいけないような気がします。

もちろん、0≦θ≦2なので、θ=-2は消えると思うのですが、残り2つの解が、ds/dθを最大にする可能性も消さなければならないような・・・

そんな気がするのです。

ですが、「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」のような、4次方程式でしかも分数になってる複雑な式の解を全部出すのは無理そうですし、例え出てきたとしても、どの解が、極大値を取るθに相当するのかイメージできません(>_<)

余計な考えでしょうか？

必要ないでしょうか？

2009/11/08 15:34:37

imo758 · Accepted Answer · 2009-11-07T19:04:28+09:00

No.10

imo758121192009/11/07 19:04:28ここでベストアンサー

14pt

単に変数を纏めるだけです。

$\frac{L^2(2\theta+8\theta+8)-L^2\theta(4\theta+8)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta^2+4\theta+4-2\theta^2-4\theta)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(-\theta^2+4)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta+2)(-\theta+2)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2}$

ここまできたら、最初の回答の６番に戻れます。

ありがとうございます！

ここまで展開していただければ、dS/dθ=0となるθが「2」と「-2」であることがわかりました(^_^;)

0≦θ≦2ということで、θが2の時、Sは最大値を取ると。

よって、中心角が2ラジアンの時、扇型の面積は最大になる。

・・・すいません、何か自分の結論付けに違和感を感じるのですが、正しいでしょうか？

「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」というのは、四次関数ですよね？

ということは、θの解は4つ出てきて、θ=2以外の3つの解が、ds/dθを最大にする極大値を取らないことを証明しなければいけないような気がします。

もちろん、0≦θ≦2なので、θ=-2は消えると思うのですが、残り2つの解が、ds/dθを最大にする可能性も消さなければならないような・・・

そんな気がするのです。

ですが、「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」のような、4次方程式でしかも分数になってる複雑な式の解を全部出すのは無理そうですし、例え出てきたとしても、どの解が、極大値を取るθに相当するのかイメージできません(>_<)

余計な考えでしょうか？

必要ないでしょうか？

2009/11/08 15:34:37

数学の質問です。微分の勉強をしている大学生の者なのですが、次の問題に頭を悩ませております(>_<)

ベストアンサー

imo758121192009/11/07 19:04:28

その他の回答（11件）

imo758121192009/11/05 05:02:47

なぽりん49069102009/11/05 08:39:35

鈍音符5202009/11/05 09:36:12

suizei102009/11/05 11:19:41

rsc45044372009/11/05 11:29:19

yo-kun220302009/11/05 12:40:07

btr77102009/11/05 14:38:16

imo758121192009/11/06 14:29:24

yo-kun220302009/11/07 14:54:01

imo758121192009/11/07 19:04:28ここでベストアンサー

imo758121192009/11/09 07:36:12

鈍音符5202009/11/09 07:47:41

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