クラメールの方法を用いて逆行列を求めるには、どうすればよいのでしょうか？

Question

moon-fondu

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310pt

学習・教育

クラメールの方法を用いて逆行列を求めるには、どうすればよいのでしょうか？

--------------------------
次の行列の逆行列をクラメールの方法で求めよ。

(1)
(a 0 b)
(0 a 0)
(b 0 a)

(2)
(a 0 0)
(b a b)
(0 0 a)

--------------------------

という問題でして・・・行列の勉強は今年始めたばかりなので、まだ普通の(一般的な)逆行列の求め方との違いもよく把握していないのですが・・・よろしくお願いします(>_<)

回答の条件

1人5回まで

登録：2010/02/26 04:07:00
終了：2010/03/04 22:24:58

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

No.1

imo758121192010/02/26 08:18:43

50pt

2行2列の行列式のところは、該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったものです。例えば

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$

のbの位置には、まずbを転置させてd、そしてdと同じ行と列のa d g とd e f を無視した

$\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right|$

がきます。

$\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right)^{-1}$

$=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ a & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & a \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right|\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{a^2-b^2} & 0 & \frac{-b}{a^2-b^2} \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ \frac{-b}{a^2-b^2} & 0 & \frac{a}{a^2-b^2} \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right)^{-1}$

$=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ a & b \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} b & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & b \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} b & a \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & a \end{array}\right|\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{a} & 0 & 0 \\ \frac{-b}{a^2} & \frac{1}{a} & \frac{-b}{a^2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right)$

…で計算ミスってないと思うけれども…。間違えていたらすいません。

返信遅くなってすいません！

ありがとうございます<m(__)m>

でもちょっとわからないですね・・・「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったもの」が、

|b c|

|h i|

になるのはわかるのですが、

|a 0|

|0 a|

と、

|0 b|

|a 0|

と、

|0 a|

|b 0|

と、

|a 0|

|0 a|

は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね？

しかし他の5つは、imo758さんがおっしゃる「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去る」という過程を経ているようで・・・。

|0 b|

|0 a|

などは、最初に、imo758さんが例示してくださった操作をすれば、確かにこれになります。

しかし、

|a b|

|b a|

などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして・・・そもそも、最初の例において「bを転置させてd」というのは、なぜなのでしょうか？

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか？

他のa、c、e、f、g、h、iではない理由を、もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか？

よろしくお願いします(>_<)

2010/03/02 04:55:45

No.2

rsc45044372010/02/26 10:51:14

100pt

■基本事項

●4.4 逆行列の公式・クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/04S/LinearA...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

●1-5 行列其の弐

＞(図1-5.1)

http://homepage2.nifty.com/skimp-studio/htm/crawl/1_5_matrix2.ht...

　上記URLの公式を用いて逆行列を求めてみます。

(1)求める逆行列A^-1を次のようにおくと、
　(p  u  x)
　(q  v  y)
　(r  w  z)

(a  0  b)(p  u  x) (1  0  0)
(0  a  0)(q  v  y)=(0  1  0)
(b  0  a)(r  w  z) (0  0  1)
∴
(a  0  b)(p)  (1)
(0  a  0)(q)＝(0)　・・・①
(b  0  a)(r)  (0)

(a  0  b)(u)  (0)
(0  a  0)(v)＝(1)　・・・②
(b  0  a)(w)  (0)

(a  0  b)(x)  (0)
(0  a  0)(y)＝(0)　・・・③
(b  0  a)(z)  (1)

①②③をｸﾗﾒｰﾙの公式で解いて､元の行列の行列式を|A|､上記1番目のURLの公式のAj,BをAjと略記すると､

p=|Ap|/|A|, u=|Au|/|A|, x=|Ax|/|A|
q=|Aq|/|A|, v=|Av|/|A|, y=|Ay|/|A|
r=|Ar|/|A|, w=|Aw|/|A|, z=|Az|/|A|

 よって､求める逆行列A^-1は､

        1  (|Ap| |Au| |Ax|)
A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)
      |A| (|Ar| |Aw| |Az|)

    |a  0  b|
|A|=|0  a  0|=a^3-ab^2
    |b  0  a|

     |1  0  b|           |0  0  b|               |0  0  b|
|Ap|=|0  a  0|=a^2  |Au|=|1  a  0|=0        |Ax|=|0  a  0|=-ab
     |0  0  a|           |0  0  a|               |1  0  a|

     |a  1  b|           |a  0  b|               |a  0  b|
|Aq|=|0  0  0|=0    |Av|=|0  1  0|=a^2-b^2  |Ay|=|0  0  0|=0
     |b  0  a|           |b  0  a|               |b  1  a|

     |a  0  1|           |a  0  0|               |a  0  0|
|Aq|=|0  a  0|=-ab  |Aw|=|0  a  1|=0        |Az|=|0  a  0|=a^2
     |b  0  0|           |b  0  0|               |b  0  1|

 したがって､求める逆行列A^-1は､

          1      (a^2     0     -ab)
A^-1=---------- ( 0   a^2-b^2   0 )
      a^3-ab^2  (-ab     0     a^2)

(2)同様にして､

     |a  0  0|
|A|=|b  a  b|=a^3
    |0  0  a|

     |1  0  0|           |0  0  0|           |0  0  0|
|Ap|=|0  a  b|=a^2  |Au|=|1  a  b|=0    |Ax|=|0  a  b|=0
     |0  0  a|           |0  0  a|           |1  0  a|

     |a  1  0|           |a  0  0|           |a  0  0|
|Aq|=|b  0  b|=-ab  |Av|=|b  1  b|=a^2  |Ay|=|b  0  b|=-ab
     |0  0  a|           |0  0  a|           |0  1  a|

     |a  0  1|           |a  0  0|           |a  0  0|
|Aq|=|b  a  0|=0    |Aw|=|b  a  1|=0    |Az|=|b  a  0|=a^2
     |0  0  0|           |0  0  0|           |0  0  1|

 したがって､求める逆行列A^-1は､a=0だと逆行列が存在しないので､a≠0で､

          1   (a^2   0    0 )     1   ( a  0   0)
A^-1 = ----- (-ab  a^2  -ab) = ----- (-b  a  -b)
        a^3  ( 0    0   a^2)    a^2  ( 0  0   a)

　ちなみに、Wolframで答え合わせすると、

(1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2Cb%7...

(2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2C0%7...

たくさんの参考リンクありがとうございます！

クラメールの公式は、3つ目の参考リンクが詳しいようで。

でもすいません、クラメールの公式を使う手前、「①②③をｸﾗﾒｰﾙの公式で解いて・・・」より前の段階で、頭を抱えてしまいまして。。。

最初に確認したいのですが、

(a 0 b)(p u x) (1 0 0)

(0 a 0)(q v y)=(0 1 0)

(b 0 a)(r w z) (0 0 1)

は、「逆行列の公式」

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_inverce.html

における、分母の△(上記リンクにおける)を、両辺に掛けたのでしょうか？

また、

(1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)

は、どこから出てきたのでしょうか？

さらに、

(a 0 b)(p) (1)

(0 a 0)(q)＝(0)　・・・①

(b 0 a)(r) (0)

と、3行3列の元の行列と、それの逆行列の1列目との積が、

(1)

(0)

となる根拠は、どこにあるのでしょうか？

3つも質問してすいません、しかもすごく初歩的な質問のような気もするのですが、もしよろしければ、再度ご回答たいただければ幸いです(>_<)

2010/03/02 05:14:42

No.3

turu2902010/02/26 18:05:32

いみわからん？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

No.4

turu2902010/02/27 08:05:30

ｍｋん；ｌ

No.5

rsc45044372010/03/02 09:12:37

60pt

　コメント欄だと画面が乱れてしまうので回答欄にて失礼します。

(a  0  b)(p  u  x) (1  0  0)
(0  a  0)(q  v  y)=(0  1  0)
(b  0  a)(r  w  z) (0  0  1)

　これは、AA^-1＝Eで、元の行列と逆行列をかけると単位行列になることを表しています。定義的なものです。

したがって、

(1  0  0)＝E(単位行列)
(0  1  0)
(0  0  1)

　①②③についてですが、一般的に、行列の積の結果は次の通りです。ただ分割しただけです。

(a  b  c)(p  u  x) (ap+bq+cr  au+bv+cw  ax+by+cz)
(d  e  f)(q  v  y)=(dp+eq+fr  du+ev+fw  dx+ey+fz)
(g  h  i)(r  w  z) (gp+hq+ir  gu+hv+iw  gx+hy+iz)

(a  b  c)(p) (ap+bq+cr)
(d  e  f)(q)=(dp+eq+fr)
(g  h  i)(r) (gp+hq+ir)

(a  b  c)(u) (au+bv+cw)
(d  e  f)(v)=(du+ev+fw)
(g  h  i)(w) (gu+hv+iw)

(a  b  c)(x) (ax+by+cz)
(d  e  f)(y)=(dx+ey+fz)
(g  h  i)(z) (gx+hy+iz)

※参考URL

●正方行列　←2ページ目上「逆行列」参照

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:6ldGIz3kXTEJ:www22.atw...

理解できました！

ありがとうございます(^_^;)

そして、クラメールの公式をいざ使うのですね。①ですと、

(a b c)(p) (ap+bq+cr)

(d e f)(q)=(dp+eq+fr)

(g h i)(r) (gp+hq+ir)

ですので、

ap+bq+cr=1

dp+eq+fr=0

gp+hq+ir=0

という、「3個の方程式からなる連立1次方程式」を考えればよいそうで。

rsc96074さんのご解答と3番目のリンクを参考にすると。

ここでクラメールの公式を使って、

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

ですね。これらは、3番目のリンクにおける、

x0=(1/D)(A00C0＋A10C1＋A20C2)

x1=(1/D)(A01C0＋A11C1＋A21C2) (式1-5.7)

x2=(1/D)(A02C0＋A12C1＋A22C2)

に、対応しているのでしょうか？

さらに逆行列の公式を使って、

1 (|Ap| |Au| |Ax|)

A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)

|A| (|Ar| |Aw| |Az|)

ですよね。

すいません、また質問してしまいました・・・

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

が、「式1-5.7」に相当しているのかどうか、もしよろしければお答いただければ嬉しいです・・・たびたびすいません(>_<)

2010/03/03 01:01:42

rsc 2010/03/03 11:58:36

　たぶん合っていると思います。
　ちなみに、式に余因子が出てきているので、豆知識として余因子の符号は、チェスボードの模様のようになります。
http://www.akita-pu.ac.jp/system/elect/comp1/kusakari/japanese/teaching/LinearAlgebra/2005/note/7/Slide05.html
moon-fondu 2010/03/04 22:22:39

最期までご指導いただき、ありがとうございます<m(__)m>
クラメールの方法を使いこなすには、余因子の理解が重要そうですね～(^_^;)

人力検索はてな以前、クラメールの方法で逆行列を解く方法.. 2010-03-23 02:06:05

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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imo758 · Accepted Answer · 2010-03-02T17:39:03+09:00

1.転置行列

転置行列とは、行と列を入れ替えた行列で、行列の右上肩に $^T$ などとして表します。例えば

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & a \end{array}\right)$

となります。

2.余因子

i行j列を取り去った行列の行列式に $(-1)^{(i+j)}$ を乗じたものを(i,j)-余因子といいます。例えば

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$ における(1,2)-余因子は、i行が(a,b,c)、j列が $\left(\begin{array}{ccc} b \\ e \\ h \end{array}\right)$ ですから $(-1)^{(1+2)}\dot{}\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right|$ となります。

3.一般の3行3列の逆行列

いま行列Aの(i,j)-余因子を $\Delta_{i,j}$ と記すとします。例えばAが一般の3行3列の行列

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$

とすると、Aの逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{1,2} & \Delta_{1,3} \\ \Delta_{2,1} & \Delta_{2,2} & \Delta_{2,3} \\ \Delta_{3,1} & \Delta_{3,2} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)^{T}$

とかける、というのがクラメールの方法です。おまけとしてもう少し続けると

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{2,1} & \Delta_{3,1} \\ \Delta_{1,2} & \Delta_{2,2} & \Delta_{3,2} \\ \Delta_{1,3} & \Delta_{2,3} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)$

$= \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} (-1)^2\left|\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} b & c \\ e & f \end{array}\right| \\ (-1)^3\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & c \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array}\right| \\ (-1)^4\left|\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & b \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^6\left|\begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array}\right| \end{array}\right)$

となります。

（前回の回答では(-1)の指数が2つずつ少ないですが、どのみち同じです。）

4.前回の回答への質問に関して

|a 0|
|0 a|
と、
|0 b|
|a 0|
と、
|0 a|
|b 0|
と、
|a 0|
|0 a|
は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね？

想像を働かせるに恐らく、言うなれば"右下"、右上、左下、"左上"ということになります。

|a b| 
|b a|
などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして

行列のうち中央の十字部分を消し去って、残った四隅をとってきています。

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか？

行と列を入れ替えた場所だからです。

imo758 · Accepted Answer · 2010-03-02T17:39:03+09:00

1.転置行列

転置行列とは、行と列を入れ替えた行列で、行列の右上肩に $^T$ などとして表します。例えば

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & a \end{array}\right)$

となります。

2.余因子

i行j列を取り去った行列の行列式に $(-1)^{(i+j)}$ を乗じたものを(i,j)-余因子といいます。例えば

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$ における(1,2)-余因子は、i行が(a,b,c)、j列が $\left(\begin{array}{ccc} b \\ e \\ h \end{array}\right)$ ですから $(-1)^{(1+2)}\dot{}\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right|$ となります。

3.一般の3行3列の逆行列

いま行列Aの(i,j)-余因子を $\Delta_{i,j}$ と記すとします。例えばAが一般の3行3列の行列

$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$

とすると、Aの逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{1,2} & \Delta_{1,3} \\ \Delta_{2,1} & \Delta_{2,2} & \Delta_{2,3} \\ \Delta_{3,1} & \Delta_{3,2} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)^{T}$

とかける、というのがクラメールの方法です。おまけとしてもう少し続けると

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{2,1} & \Delta_{3,1} \\ \Delta_{1,2} & \Delta_{2,2} & \Delta_{3,2} \\ \Delta_{1,3} & \Delta_{2,3} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)$

$= \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} (-1)^2\left|\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} b & c \\ e & f \end{array}\right| \\ (-1)^3\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & c \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array}\right| \\ (-1)^4\left|\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & b \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^6\left|\begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array}\right| \end{array}\right)$

となります。

（前回の回答では(-1)の指数が2つずつ少ないですが、どのみち同じです。）

4.前回の回答への質問に関して

|a 0|
|0 a|
と、
|0 b|
|a 0|
と、
|0 a|
|b 0|
と、
|a 0|
|0 a|
は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね？

想像を働かせるに恐らく、言うなれば"右下"、右上、左下、"左上"ということになります。

|a b| 
|b a|
などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして

行列のうち中央の十字部分を消し去って、残った四隅をとってきています。

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか？

行と列を入れ替えた場所だからです。

クラメールの方法を用いて逆行列を求めるには、どうすればよいのでしょうか？

ベストアンサー

imo758121192010/03/02 17:39:03

その他の回答（5件）

imo758121192010/02/26 08:18:43

rsc45044372010/02/26 10:51:14

turu2902010/02/26 18:05:32

turu2902010/02/27 08:05:30

rsc45044372010/03/02 09:12:37

imo758121192010/03/02 17:39:03ここでベストアンサー

コメント（2件)

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