著作権が切れた小説や詩、エッセイ等を朗読した音声をウェブに公開することは問題ないのでしょうか？教えてください。

完全に切れていれば問題ありませんが、著作権保護期間の計算方法は勘違いしやすいのでご注意ください。
はじめての著作権講座

著作権法　第57条は以下のように書かれています。

第51条第2項、第52条第1項、第53条第1項又は第54条第1項の場合において、著作者の死後50年、著作物の公表後50年若しくは創作後50年又は著作物の公表後70年若しくは創作後70年の期間の終期を計算するときは、著作者が死亡した日又は著作物が公表され若しくは創作された日のそれぞれ属する年の翌年から起算する。

この勘違いで、危うく問題になりそうになった事例が
青空文庫...報告書
です。

【事件の経緯】

　太宰治は、1948年6月13日に他界している。
　本年（1998年）は、彼の死後50年目にあたる。
「著作権は、著作者の死後50年で切れる」という知識を念頭において、我々は太宰に関する権利が、本年の6月13日で切れるものと認識していた。
　著作権が切れた段階で、時を置かず作品の公開を始めようと、入力、校正の作業に着手した。準備を進めている旨も、「入力中の作品」で告知していた。「青空文庫の提案」中「何からはじめるか」では、「1998年6月には、太宰治も（権利保護の）対象から外れます」と書いていた。

　この我々の認識に対し、福井大学の岡島昭浩先生から、「保護期間は、死亡の年の翌年1月1日から起算する。太宰治の著作権が切れるのは、今月ではなく、今年の末ではないか」との指摘をいただいた。
　6月5日に「みずたまり」に書き込まれたコメントを読み、我々は著作権法を確かめた。

　著作権の存続期間が50年である点は、第五十一条第二項において以下の通り規定されている。
「著作権は、この節に別段の定めがある場合を除き、著作者の死後（共同著作物にあつては、最終に死亡した著作者の死後。次条第一項において同じ。）五十年を経過するまでの間、存続する。」

　ただし著作権法は第五十七条で、保護期間の計算方法を以下の通り規定していた。
「第五十一条第二項、第五十二条第一項、第五十三条第一項、第五十四条第一項又は第五十五条第一項の場合において、著作者の死後五十年又は著作物の公表後五十年若しくは創作後五十年の期間の終期を計算するときは、著作者が死亡した日又は著作物が公表され若しくは創作された日のそれぞれ属する年の翌年から起算する。」

　この規定によって、太宰治の著作権が切れる日は、著作者が死亡した日の翌年、つまり1949年1月1日からから起算して求めなければならない。1998年末日まで、太宰の著作権は有効だったのである。
　岡島先生の指摘によって、保護期間中にもかかわらず、太宰の作品を青空文庫で公開してしまうという事態は、避けることができた。
　だがこの誤解を元に、私たちは大きな問題を、別に引き起こしていた。
＊＊＊　以下、略＊＊＊

ベルヌ条約については
名言および写真に関する、著作権についての質問です。 最近、ジ.. - 人力検索はてな
で回答したことがありますのでご参考までに。

ちなみに音楽関係で参考になりそうなのは
著作権切れ音楽データベース - The Public Domain Music Database | 音楽の著作権について
がご参考になると思います。

ご参考になれば幸いです。