何かのドラマか漫画で、記憶が１時間しか持たないという内容のものがあった気がするのですが、題名もどんなストーリーだったのかも思い出せません。

一時間じゃなくて80分ですが、『博士の愛した数式』ではないでしょうか。
博士の愛した数式 - Wikipedia
映画「博士の愛した数式」公式サイト

■追記[2014/4/13/21:10ごろ]
記憶が“一日”しかもたない映画はいくつか見つかりましたが、“一時間”はなかなか難しいですね。
『MR.BRAIN』というテレビドラマの第4話～第5話（前半）に、記憶が一時間しか持たない人物が登場するようです。

中川 優 - 佐藤健
記憶障害を持つピアニスト。年齢は26歳。7年前の脳内出血により脳への障害を負ったことで、新しい出来事を覚えることが出来なくなり、1時間毎にその記憶を忘れていく性質となった。そのため普段はメモを取っているが、自身の感情に関することは作曲した楽譜に表れる。
http://ja.wikipedia.org/wiki/MR.BRAIN

TBS ドラマ 『 MR.BRAIN (ミスターブレイン) 』　｜　あらすじ

ef ~ tale of memories
こちらはヒロインの1人が13時間しか記憶を保持できません。