Gmail は、ブラウザによって使い勝手が異なるようです。

ブラウザーによって使い勝手が異なるというよりは、ブラウザーメールのアドレスでブラウザーメールに登録するとこのような面倒なことが起こってしまいます。これは Google Chrome でも Internet Explorer でも関係ありません。
つまりこの場合は Outlook.com のメールアドレスで Gmail のメールアドレスに登録してしまったために、Gmail にログインするのにも Outlook.com のメール認証が必要で、その Outlook.com のメールを確認するためにも Gmail のメール認証が必要になってしまったために、両方のメールアドレスがロックされてしまったということです。

まずは、先ほどの画面の *****@gmail.com の *****の部分に、登録した覚えのある Gmail のメールアドレスを入力して「送信」をクリックして、新しいウインドウ (ファイル→新しいウィンドウ) で Gmail を開き、何かしらの番号付きメールを受信していないかを確認してください。
番号が見つかったら、その番号を先ほどの画面に入力して決定してみてください。どうしようもない場合、下の「どうしてもログインできなかった場合」を参考に、アカウントを回復してみてください。

本当ならば、プロバイダーのメールアドレスか携帯電話のメールアドレスのどちらかを持っているなら、できればそちらで登録するべきです。
プライバシーはきになるかもしれませんが、ログインできない事態をおこさないように、メールアドレス以外もできるだけ正確な情報を入れておきます。

また、Microsoft (Outlook.com の会社) さんも、 Google (Gmail の会社) さんも、メールアドレスのかわりにスマートフォンのアプリで本人確認ができるしくみを用意しているので、スマートフォンを持っていればそちらへの登録もおすすめします。今回はその設定方法は割愛させていただきますので、ログインができたらこの回答にコメント (返信) をつけていただければあらためて設定方法もご案内いたします。わたしはそのような設定を事前にしていたので、両方ログインできない事態を回避しました。

どうしてもログインできなかった場合

とりあえず、ログインの回復方法をまずはご案内させていただきます。

1. まず、以前にログインできたことのあるパソコンを使用して、ログインに使用したブラウザーを開きます。
   • 以前にログインした覚えのあるパソコンとブラウザーの組み合わせがない場合は、しかたないので今お使いのパソコンとブラウザーでもかまいません。
   • ログインした覚えのあるブラウザーがない場合で、現在スマートフォンでGoogle アカウントにログインできている場合は、できればログインできているスマートフォンを使用することをおすすめします。ログインできているパソコンが確認できると回復の可能性があがります。
2. ログインできたことのあるブラウザーで、以下のアドレスを入力します。(コピーペーストでもかまいません)
   https://accounts.google.com/signin/recovery
3. ログイン画面が表示されたら、Gmail のメールアドレス (*****@gmail.com) とパスワードを正確に入力します。
4. さまざまな質問がされるので、正確に答えていきます。
   • セキュリティ質問の答えを忘れてしまった場合、おもいあたる答えを入力します。
   • 答えを覚えている場合、「ロサンゼルス」と「LA」や、「東京大学」と「東大」といった違いも区別されます。なので、もし入力した答えで回復できなかった場合、もうひとつの答えかたで答えを入力してみてください。
   • アカウントの作成時期を忘れてしまった場合、現時点で読むことができるメールアドレスで登録完了メールが配信されていないかをさがしてみます。配信されていれば、登録メールの受信日時を入力します。
     • スマートフォンで現在 Google にログインできているなら、Gmail にも登録メールが残っているかもしれません。探してみてください。
     • メールが確認できなければ、Gmail でメールしたことのある家族や友達に、「最初にメールをしたのっていつだっけ」みたいな質問をしたり、何かのきっかけで作ったことがないかなど、とにかく思い出してください。
   • 「再設定用のメールアドレス」などはおそらく *****@live.jp だと思うので、***** の部分をあなたのメールアドレスに直して、正確に入力します。
   • ログインできなくなった理由を聞かれたら、「再設定用のメールアドレスで受信できない」のように書いてください。(他に思い当たる理由があるならばこの理由でなくてもかまいません)
   • そのほかにもいろいろ質問されるとは思いますが、できるだけ回答を省略せずに、思いつく回答をなんでもいいのでします。学校のテストで白紙だと絶対に0点になるのに対し、適当でも書いてあれば1点はもらえるかもしれないのとりくつは同じです。この質問の場合は、大体90点くらいになれば合格となり、再度ログインできるようになるかもしれません。
5. 審査には数週間かかります。なので、それまではお待ちいただき、Gmailにログインできるようになったら、Outlook.comへの再度ログインをお試しください。